Grundlagen Schwingungen
Eigenschaften von mechanischen Schwingungen
Bei vielen Vorgängen in der Natur und der Technik beobachten wir eine hin- und hergehende Bewegung,
eine sogenannte mechanische Schwingung. Denken wir an das Auf und Ab einer Schaukel oder die
Bewegung eines Pendels. Uhren messen die Zeit mit Hilfe einer schwingenden Unruhe oder eines
Schwingquarzes. In Fahrzeugen, Hochhäusern oder Brücken versucht man Schwingungen möglichst zu
dämpfen. Bei Musikinstrumenten spielen Schwingungen eine wichtige Rolle. Schließlich kommen
Schwingungen bei jedem Festkörper vor. Die Moleküle oder Atome, aus denen er aufgebaut ist, bewegen
sich je nach Temperatur mehr oder weniger heftig um ihre Gleichgewichtslage.
Zunächst wollen wir uns überlegen, warum Körper schwingen. Dazu betrachten wir einen kleinen Wagen,
der zwischen zwei Federn eingespannt ist (siehe oben). Haben wir den Wagen noch nicht angestoßen,
wird er sich in der Ruhelage befinden. In der Ruhelage heben sich die Kraft der linken und rechten Feder
genau auf, die Summe der Kräfte, die am Wagen angreifen, ist hier also Null. Bewegen wir den Wagen
nach rechts aus der Ruhelage heraus, nimmt die Kraft der linken Feder zu und die Kraft der rechten
Feder ab, es entsteht so eine Kraft am Wagen, die zurück zur Ruhelage weist. Lassen wir den Wagen
nun los, erfährt er eine Beschleunigung zur Gleichgewichtslage. Erreicht der Wagen die Gleich-
gewichtslage, ist die Summe der Kräfte an ihm zwar wieder Null, wegen seiner Trägheit schießt er jedoch
über die Ruhelage hinaus nach links. Auf der linken Seite addieren sich die Federkräfte wiederum zu
einer Kraft, die zurück zur Gleichgewichtslage weist, man bezeichnet die resultierende Kraft deshalb auch
als Rückstellkraft. Die Rückstellkraft ist beim erneuten Passieren der Ruhelage zwar wieder Null, auf
Grund der Trägheit gelangt der Wagen aber wieder nach rechts und der Vorgang beginnt von Neuem.
Wichtige Begriffe und Kenngrößen von Schwingungen
Bei der Beschreibung von mechanischen Schwingungen verwendet man in der Regel ein Koordinaten-
system, das seinen Ursprung in der Gleichgewichtslage (Ruhelage, Nulllage) des schwingenden Körpers
hat. In der Gleichgewichtslage addieren sich die Kräfte, die am Körper angreifen, vektoriell zu Null.
Die momentane Auslenkung des Körpers aus seiner Ruhelage wird auch Elongation genannt. Die
maximale Elongation bezeichnet man als Amplitude. Wir betrachten in der Folge nur eindimensionale
Schwingungen, damit genügt uns eine Koordinatenachse für die Beschreibung der Bewegung. Die
schwingenden Körper betrachten wir dabei als Massepunkte. Auch werden wir zunächst von Reibung
absehen.
Die Zeitdauer, die der Massepunkt benötigt, um die Ruhelage erneut in gleicher Richung zu passieren,
bezeichnet man als Schwingungsdauer oder Periodendauer. Der Kehrwert der Schwingungsdauer, der
angibt, wie oft eine Schwingung pro Zeiteinheit ausgeführt wird, nennt man Schwingfrequenz oder kurz
Frequenz.
In den folgenden Versuchen werden wir unter anderem untersuchen, wovon die einzelnen Kenngrößen
abhängen und mit welche Gleichungen wir mechanische Schwingungen untersuchen können.
Die harmonische Schwingung
Versuch
Versuchsbeschreibung: Ein Fahrbahnwagen, der zwischen zwei Federn gespannt ist, wird ausgelenkt.
Versuchsdurchführung:
Versuchsbeobachtung und -ergebnis: Der Fahrbahnwagen schwingt nach dem Auslenken um die Ruhelage.
Vor dem Auslenken war der Kraftbetrag der linken Feder FF,li genauso groß wie der Kraftbetrag der rechten Feder FF,re. Bei einer Auslenkung des Wagens um s nach rechts vergrößert Sich FF,Ii, weil die linke Feder stärker gedehnt Wird und gleichzeitig verringert Sich FF,re, da die Dehnung der rechten Feder nicht mehr so groß ist. Die Vektorsumme der beiden Federkräfte ist nun aber nicht mehr O, sondern es entsteht eine Kraft, die zur Ruhelage hin gerichtet ist. Bei einer Auslenkung des Wagens um s nach links sind die Verhältnisse genau umgekehrt, die Vektorsumme der beiden Kräfte ist jedoch wiederum zur Ruhelage hin gerichtet, weshalb die Vektorsumme der beiden Kräfte auch Rückstellkraft genannt wird. Wir können die Rückstellkraft in Abhängigkeit von der Auslenkung angeben:
FRü = FF,Ii + FF,re
FRü = (F*F,Ii – s·Dli) + (F*F,re – s·Dre)
Der Term (F* – s·Dli) entspricht der Kraft der linken Feder FF,li in Abhängigkeit der Auslenkung s. F*F,li ist dabei die Kraft der linken Feder in der Ruhelage. Dabei ist zu beachten, dass die Kraftrichtung durch das Vorzeichen wiedergegeben wird. F*F,li ist also negativ. Für positive Auslenkungen (hier nach rechts) wird der Term (F*F,li – s·Dli ) also noch negativer, da die Federkonstante Dli positiv ist.
Die Kraft der rechten Feder ist vor der Auslenkung F*F,re und nimmt um s·Dre ab.
mit F*F,li = – F*F,re ergibt sich:
FRü = – s·Dli – s·Dre
FRü = – s·(Dli + Dre )
FRü = – D·s mit D = Dli + Dre
Die obige Gleichung gibt wieder, das s bei unserer Schwingung die Rückstellkraft und die Auslenkung proportional zueinander sind, d.h., wenn wir den Wagen doppelt so weit auslenken, entsteht auch die doppelte Rückstellkraft. In der Akustik erzeugen Instrumente, bei denen dieser lineare Zusammenhang zwischen Rückstellkraft und Auslenkung besteht, besonders reine Töne. Aus diesem Grund bezeichnet man sie als harmonische Schwingungen.
Die Größe mit dem Formelbuchstaben D besitzt den Namen Richtgröße. Sie gibt an, wie groß der Betrag der Rückstellkraft bezogen auf die Auslenkung ist. Die Einheit von D ist deshalb: [D] =1 N/m.