Standardabweichung und Verschiebungsformel: Beispiele

In einer Urne befinden sich 10000 Lose. Der Preis für ein Los beträgt 5 Euro.

Unter den Losen befinden sich 20 Gewinnlose, bei denen 3000 Euro ausgezahlt werden, 10 Gewinnlose, bei denen 8000 Euro ausgezahlt werden und 5, bei denen man 10000 Euro gewinnt. Der Rest sind Nieten.

Berechnen Sie den erwarteten Gewinn pro Los, die Varianz und die Standardabweichung.

Bei einem Glückspiel wird mit einem Laplace-Würfel gewürfelt. Fällt die Zahl 1, so erhält der Spieler 1 Euro, bei 2 und 3 erhält der Spieler nichts, bei 4 und 5 erhält der Spieler 2 Euro, fällt die 6, so erhält der Spieler 3 Euro. Der Einsatz beträgt 50 Cent.

Berechnen Sie die Varianz und die Standardabweichung des Gewinns.

Bei dem Spiel aus Beispiel 2 sieht die Wahrscheinlichkeitsverteilung wie folgt aus:

\[\begin x  & -0,5 & 0,5 & 1,5 & 2,5 \\ \hline P(X = x) & \frac & \frac & \frac & \frac \end\]

Berechnen Sie die Wahrscheinlichkeit, dass der Gewinn innerhalb der Standardabweichung um den Erwartungswert liegt.

Abschlussprüfung an FOS 2000, SII, Aufgabe 3:

Der Boden eines Badezimmers wird gefliest. Erfahrungsgemäß können auf einer gefliesten Fläche von der Größe dieses Sanitärraums innerhalb des ersten Jahres nach Verlegung der betreffenden Fliesensorte insgesamt höchstens fünf Risse auftreten. Die Zufallsgröße \(X\) gibt die Anzahl der Risse in den Fliesen des Badezimmers an, die in diesem Zeitraum entstehen. Mit geeigneten Werten von \(a\) und \(b\) \((a, b \in [0;1])\) lässt sich die Wahrscheinlichkeitsverteilung der Zufallsgröße \(X\) wie folgt darstellen:

\[\begin{array} {c|c} x  & 0 & 1 & 2 & 3 & 4 & 5\\ \hline P(X = x) & a & 0,25 & 3b & 0,1 & b & 0,05 \end{array}\]

Berechnen Sie \(a\) und \(b\) unter der Voraussetzung, dass die Wahrscheinlichkeit dafür, dass höchstens zwei Risse auftreten, 0,8 beträgt.

Berechnen Sie die Wahrscheinlichkeit dafür, dass die Anzahl der Risse innerhalb der einfachen Standardabweichung um den Erwartungswert liegt.