Einführung der Zufallsgröße
Einführendes Beispiel
In einer Urne befinden sich drei weiße, vier schwarze und fünf rote Kugeln. Es werden nacheinander zwei Kugeln aus dieser Urne gezogen. Ein möglicher Ergebnisraum ist \(Ω = \{(w,w), (w,s), (w,r), (s,s), (s,w), (s, r), (r, r), (r,w), (r, s)\}.\) Mit dem Zählprinzip erhält man \(|Ω| = 3 \cdot 3 = 9.\)
Nun interessiert sich die Person, die die Kugeln entnommen hat, aber nur dafür, wie oft sie eine weiße Kugel erhalten hat.
Wie viele weiße Kugeln im Ergebnis sind möglich?
Betrachten wir die Anzahl der weißen Kugeln genauer:
| Man erhält | 0 | weiße Kugeln für \(ω \in \{(r,r), (r,s), (s,r), (s,s)\}\) |
| 1 | weiße Kugel für \(ω \in \{(w,r), (r,w), (s,w), (w,s)\}\) | |
| 2 | weiße Kugeln für \(ω \in \{(w,w)\}\) |
Dies ist eine eindeutige Zuordnung. Jedem Ergebnis ω ∈ Ω wird eindeutig eine Zahl zugeordnet, nämlich die jeweils im Ergebnis enthaltene Anzahl weißer Kugeln. Eine eindeutige Zuordnung ist eine Funktion. Diese Funktion heißt Zufallsgröße \( X \).
Die zugehörige Definitionsmenge \(D_{X}\) ist \(Ω\), die Wertemenge \(W_{X}\) hier ist \(\{0; 1; 2\}\). Im Allgemeinen ist sie eine Teilmenge von \(\mathrm{I\!R}\).
Die Funktionswerte werden mit \(x\) bezeichnet; \(x_{1}\), \(x_{2}\), \(x_{3}\) … heißen Zufallswerte.
Allgemein:
Definition
Jede Funktion, die jedem Ergebnis \(ω \in Ω\) eines Ergebnisraums \(Ω\) eine reelle Zahl zuordnet, heißt Zufallsgröße \(X.\)
| \(X\): | \(Ω\) → | \(\mathrm{I\!R}\) |
| \(ω\) → | \(X(ω) = x\) |
Beispiele
Beispiel 1:
Ein Würfel wird zweimal geworfen. Die Zufallsgröße \(X\) gibt die Augensumme der Würfe an. Es gilt \(|Ω|= 36\).
Beispiel 2:
Bei einem Glücksspiel wird ein Würfel geworfen. Der Einsatz beträgt 1 Euro. Fällt 1 oder 2, so bekommt man nichts ausbezahlt, bei 3 oder 4 erhält man 50 Cent ausbezahlt, bei 5 oder 6 erhält man 2 Euro. Die Zufallsgröße \(X\) gibt den Gewinn an (Achtung: Gewinn = Auszahlung – Einsatz).
