Wahrscheinlichkeitsverteilung – Aufgaben
Testen Sie Ihr Wissen an folgenden Aufgaben
| 1 | Bei einem Spiel wird ein Laplace-Würfel solange geworfen, bis das erste Mal die Zahl 1 erscheint, höchstens aber 5-mal. Die Zufallsgröße \(X\) gibt die Anzahl der Würfe an. Bestimmen Sie die zugehörige Wahrscheinlichkeitsverteilung. | |
|---|---|---|
| Zeichnen Sie zusätzlich den Graphen der Wahrscheinlichkeitsverteilung. | ||
| 2 | Eine Laplace-Münze wird 5-mal geworfen. Die Zufallsgröße \(X\) gibt die Anzahl von Zahl an. Bestimmen Sie die zugehörige Wahrscheinlichkeitsverteilung. | |
| 3 | Zu einer Tür gibt es fünf gleichaussehende Schlüssel. Diese werden nacheinander ausprobiert. Die Zufallsgröße \(X\) gibt die Anzahl der probierten Schlüssel an. Bestimmen Sie die Wahrscheinlichkeitsverteilung von \(X\). | |
| Zeichnen Sie das zugehörige Stabdiagramm. | ||
| 4 | Aus einer Urne mit 10000 Losen, davon 500 Gewinnlose, werden nacheinander 5 Lose gezogen. Die Zufallsgröße \(X\) gibt die Anzahl der gezogenen Gewinnlose an. Geben Sie die zugehörige Wahrscheinlichkeitsverteilung an. Gehen Sie dabei davon aus. dass es sich um ein Ziehen mit Zurücklegen handelt. | |
| Zeichnen Sie zusätzlich den Graphen der Wahrscheinlichkeitsverteilung. | ||
| 5 | Bei einer Produktion von Glühweintassen sind bei 10% der Tassen die Aufkleber schräg aufgeklebt. Jemand entnimmt der Produktion sieben Tassen. Die Zufallsgröße X gibt die Anzahl der Ausschuss-Tassen an. Bestimmen Sie die Wahrscheinlichkeitsverteilung von \(X\). |
Lösungen
Es handelt sich hier nicht um einer Bernoulli-Kette, denn es ist wichtig, wann die 1 gewürfelt wird.
\[\begin{array} {c|c} x & 1 & 2 & 3 & 4 & 5 \\ \hline P(X = x) & \frac{1}{6} & \frac{5}{36} & \frac{25}{216} & \frac{125}{1296} & \frac{625}{1296} \end{array}\]
\(P(X = 1) = \frac{1}{6}\), beim ersten Wurf „1“.
\(P(X = 2) = \frac{5}{6} \cdot \frac{1}{6}\), beim ersten Wurf keine „1“, aber beim zweiten Wurf eine „1“.
\(P(X = 3) = (\frac{5}{6})^2 \cdot \frac{1}{6}\)
\(P(X = 4) = (\frac{5}{6})^3 \cdot \frac{1}{6}\)
\(P(X = 5) = (\frac{5}{6})^4 \cdot \frac{1}{6} + (\frac{5}{6})^5 \), beim fünften Wurf die erste „1“ o d e r keinmal die „1“.
Es handelt sich hier um die Binomialverteilung \(B(5; 0,5)\). Es ergibt sich folgende Wahrscheinlichkeitsverteilung.
\[\begin{array} {c|c} x & 0 & 1 & 2 & 3 & 4 & 5 \\ \hline P(X = x) & \ 0,03125 & 0,15625 & 0,31250 & 0,31250 & 0,15625 & 0,03125 \end{array}\]
Es handelt sich hier um ein Ziehen ohne Zurücklegen (kein Bernoulli!). Man erhält folgende Wahrscheinlichkeitsverteilung.
\[\begin{array} {c|c} x & 1 & 2 & 3 & 4 & 5 \\ \hline P(X = x) & \frac{1}{5} & \frac{1}{5} & \frac{1}{5} & \frac{1}{5} & \frac{1}{5} \end{array}\]
\(P(X = 2) = \frac{4}{5} \cdot \frac{1}{4} = \frac{1}{5}\), erster Schlüssel falsch und zweiter Schlüssel richtig.
\(P(X = 3) = \frac{4}{5} \cdot \frac{3}{4} \cdot \frac{1}{3} = \frac{1}{5}\)
usw.
Da es sich um ein Ziehen mit Zurücklegen handelt, ist die Zufallsgröße binomialverteilt nach \(B(5; 0,05)\) mit der Kettenlänge \(n=5\) und der Trefferwahrscheinlichkeit \(p=\frac{500}{10000} = 0,05\).
\[\begin{array} {c|c} x & 0 & 1 & 2 & 3 & 4 & 5 \\ \hline P(X = x) & 0,77378 & 0,20363 & 0,02143 & 0,00113 & 0,00003 & 0 \end{array}\]
Auch diese Zufallsgröße ist binomialverteilt nach \(B(7; 0,1)\) (da die Entnahme von nur wenigen Teilen aus einer sehr großen Produktionsmenge unbekannter Stückzahl praktisch wie Ziehen mit Zurücklegen modelliert werden kann). Die Wahrscheinlichkeitsverteilung sieht folgendermaßen aus.
\[\begin{array} {c|c} x & 0 & 1 & 2 & 3 & 4 & 5 & 6 & 7 \\ \hline P(X = x) & 0,47830 & 0,37201 & 0,12400 & 0,02296 & 0,00255 & 0,00017 & 0,00001 & 0 \end{array}\]