Wahrscheinlichkeitsverteilung – Definition und Beispiele der Wahrscheinlichkeitsverteilung

Hinführendes Beispiel

Die Zufallsgröße \(X\) allein ist im Rahmen der Stochastik nicht das Entscheidende. Meistens interessiert man sich dafür, wie groß die zugehörigen Wahrscheinlichkeiten sind.

Betrachten wir noch einmal das Werfen von zwei Würfeln. Die Zufallsgröße \(X\) beschreibt die Augensumme der zwei Würfe. Die Zufallsgröße wurde bereits auf der letzten Seite dargestellt.

Die zugehörigen Wahr­scheinlichkeiten erhält man mit Laplace. Die Darstellung erfolgt in einer Tabelle:

\[\begin{array} {c|c} x  & 2 & 3 & 4 & 5 & 6 & 7 & 8 & 9 & 10 & 11 & 12 \\ \hline P(X = x) & \frac{1}{36} & \frac{2}{36} & \frac{3}{36} & \frac{4}{36} & \frac{5}{36} & \frac{6}{36} & \frac{5}{36} & \frac{4}{36} & \frac{3}{36} & \frac{2}{36} & \frac{1}{36} \end{array}\]

In der ersten Zeile stehen die Zufallswerte, in der zweiten die zugehörigen Wahrscheinlichkeiten.

Eine solche eindeutige Zuordnung heißt Wahrscheinlichkeitsverteilung, Auch dies ist wieder eine Funktion. Ihre Definitionsmenge ist in diesem Beispiel \(D = \{2; 3; 4; 5; 6; 7; 8; 9; 10; 11; 12\}.\)

Schreibweise: \(P(X = x)\) ist die Wahrscheinlichkeit, dass die Zufallsgröße \(X\) den Wert \(x\) annimmt. Beispiel: \(P(X = 9) = \frac{4}{36}\).

Definition

Die Funktion, die jedem \(x \in W_{x}\) die Wahrscheinlichkeit \(P(X=x)\) zuordnet, heißt Wahrscheinlichkeits­verteilung der Zufallsgröße \(X\).

Beispiele

Beispiel 1

Eine Laplace-Münze wird zweimal geworfen. Die Zufallsgröße \(X\) gibt an, wie oft Kopf gefallen ist. Welche Werte kann die Zufallsgröße annehmen und welche Ergebnisse gehören dazu? Geben Sie die zugehörige Wahrscheinlichkeitsverteilung anhand einer Tabelle an.

Die Zufallsgröße kann die Werte 0, 1 und 2 annehmen.

Die zugehörige Wahrscheinlichkeitsverteilung kann man wieder durch eine Tabelle angeben:

\[\begin x  & 0 & 1 & 2 \\ \hline P(X = x) & \frac & \frac & \frac \end\]

Beispiel 2

Wir haben bereits die Zufallsgröße des folgenden Experiments betrachtet:

Bei einem Glücksspiel wird ein Würfel geworfen. Der Einsatz beträgt 1 Euro. Fällt 1 oder 2, so bekommt man nichts ausbezahlt, bei 3 oder 4 erhält man 50 Cent ausbezahlt, bei 5 oder 6 erhält man 2 Euro. Die Zufallsgröße \(X\) gibt den Gewinn an (Achtung: Gewinn = Auszahlung – Einsatz).

Geben Sie die zugehörige Wahrscheinlichkeitsverteilung anhand einer Tabelle an.

Tabelle der zugehörigen Wahrscheinlichkeitsverteilung:

\[\begin x  & -1 & -0,5 & 1 \\ \hline P(X = x) & \frac & \frac & \frac \end\]

Beispiel 3

Bei einem Würfelspiel wird einmal gewürfelt. Da den Spieler nur interessiert, ob die Sechs fällt oder nicht, nimmt die Zufallsgröße \(X\) den Wert 1 an, wenn die Sechs gewürfelt wird, ansonsten den Wert 0. Geben Sie die zugehörige Wahrscheinlichkeitsverteilung anhand einer Tabelle an.

Tabelle der zugehörigen Wahrscheinlichkeitsverteilung:

\[\begin x  & 0 & 1 \\ \hline P(X = x) & \frac & \frac \end\]

Nicht immer kann man die Wahrscheinlichkeitsverteilung sofort angeben, oft müssen die Wahrscheinlichkeiten z.B. mit Bernoulli oder einem Baumdiagramm berechnet werden.

Beispiel 4

Ein Würfel wird solange geworfen, bis zum ersten Mal die Sechs erscheint, maximal aber dreimal. Die Zufallsgröße \(X\) gibt die Anzahl der Würfe an. Geben Sie die zugehörige Wahrscheinlichkeitsverteilung anhand einer Tabelle an.

Man erkennt sofort, dass nur 1, 2 oder 3 -mal gewürfelt wird. Zur Berechnung der Wahrscheinlichkeiten empfiehlt sich ein Baumdiagramm. Bei diesem ist zu beachten, dass nach qewürfelter Sechs das Spiel beendet wird. Als Ergebnis erhält man:

\[\begin ω  & P(ω) & x  \\ \hline 6 & \frac & 1   \\ \hline \overline 6 & \frac & 2  \\ \hline \overline \overline 6 & \frac & 3 \\ \hline \overline \overline \overline & \frac & 3\end\]

Dabei erhält man die Wahrscheinlichkeiten aus dem Baum mit Hilfe der Pfadregeln.

\[\begin x  & 1 & 2 & 3 \\ \hline P(X = x) & \frac & \frac & \frac \end\]

Beachten Sie dabei:

Genauso wie beim Baumdiagramm gilt auch bei der Wahrscheinlichkeitsverteilung: Addieren Sie alle Wahrscheinlichkeiten auf, so hat die Summe den Wert 1.

Beispiel 5 (Bernoulli-Formel)

Ein Kind kauft auf einem Fest 10 Lose. Die Wahrscheinlichkeit für ein Gewinnlos beträgt 0,2. Die Zufallsgröße \(X\) gibt die Anzahl der Gewinnlose an. Geben Sie die zugehörige Wahrscheinlichkeitsverteilung anhand einer Tabelle an.

Es handelt sich hier um eine Bernoulli-Kette der Länge n=10. Die Trefferwahrscheinlichkeit beträgt p=0,2. Es gibt 0, 1, 2, … 10 Treffer. Diese lassen sich mit der Bernoulli-Formel berechnen.

Hilfe zur Bernoulli-Formel:

Die Wahrscheinlichkeit für „genau 0 Treffer“ berechnet man mit der Bernoulli-Formel:

\( B(10;0,2;0) = {10\choose 0} \cdot 0,2^{0} \cdot 0,8^{10} \)

analog z.B. für „genau 6 Treffer“

\( B(10;0,2;6) = {10\choose 6} \cdot 0,2^{6} \cdot 0,8^{4} \)

oder man verwendet das Tafelwerk für \(p = 0,2\) und \(n = 10\).

Wahrscheinlichkeitsverteilung:

\[\begin{array} {c|c} x  & 0 & 1 & 2 & 3 & 4 & 5 & 6 & 7 & 8 & 9 & 10 \\ \hline P(X = x) & 0,10737 & 0,26844 & 0,30199 & 0,20133 & 0,08808 & 0,02642 & 0,00551 & 0,00079 & 0,00007 & 0 & 0 \end{array}\]

Hierzu nutzt man das Tafelwerk oder die Bernoulli-Formel:

Eine Zufallsgröße \(X\) mit der Wahrscheinlichkeitsverteilung \( P(X = x) {n\choose x} \cdot p^{x} \cdot (1-p)^{n-x} \)  mit \(0 < p < 1\) heißt binomial nach \(B(n;p)\) verteilt oder verteilt nach der Binomialverteilung \(B(n;p)\).

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