Standardabweichung und Verschiebungsformel
Einführendes Beispiel
Bei einem Gewinnspiel wird 2-mal gewürfelt. Bei Augensumme 2 oder 12 erhält man 5 Euro ausbezahlt, bei Augensumme 3 bis 6 und 8 bis 11 erhält man 2 Euro, bei Augensumme 7 muss man ein Euro zahlen.
Der Einsatz beträgt 1 Euro. Die Zufallsgröße \(X\) gibt den Gewinn in Euro an.
Man erhält folgende Wahrscheinlichkeitsverteilung:
\[\begin{array} {c|c} x & -2 & 1 & 4 \\ \hline P(X = x) & \frac{6}{36} & \frac{28}{36} & \frac{2}{36} \end{array}\]
Die Zufallsgröße \(X\) hat den Erwartungswert \(E(X) = -2 \cdot \frac{6}{36} + 1 \cdot \frac{28}{36} + n \cdot \frac{2}{36} = \frac{2}{3}\), das heißt der durchschnittliche Gewinn pro Spiel beträgt ca. 67 Cent.
Die Varianz der Zufallsgröße \(X\) ist \(Var(X) = (-2 – \frac{2}{3})^2 \cdot \frac{6}{36} + (1 – \frac{2}{3})^2 \cdot \frac{28}{36} + (4 – \frac{2}{3})^2 \cdot \frac{2}{36} = \frac{17}{9}\)
Betrachtet man die Einheit, so erhält man (Euro)². Dies ist eine sehr unanschauliche Größe.
Ein weiterer Nachteil der Varianz ist, dass durch das Quadrieren „Ausreißer“ großes Gewicht erhalten.
Um diese Nachteile zu vermindern, definiert man eine weitere Größe:
Definition
\(σ(X)= \sqrt{Var(X)}\) heißt die Standardabweichung \(σ(X)\) der Zufallsgröße \(X.\)
Im Beispiel ist dann \(σ(X) = \sqrt{Var(X)} = \sqrt{\frac{17}{9}} \approx 1,37.\) Die Einheit der Standardabweichung ist (in diesem Fall) Euro!
Die Standardabweichung ist ein Maß für das Risiko.
Die Verschiebungsformel
Zur Berechnung der Varianz gibt es eine weitere Formel, die häufig etwas weniger aufwendig ist:
Definition
\(Var(X) = E(X^2) – µ^2\) „Verschiebungsformel“
Im obigen Beispiel ist dann
\(E(X^2) = (-2)^2 \cdot \frac{6}{36} + 1^2 \cdot \frac{28}{36} + 4^2 \cdot \frac{2}{36} = \frac{7}{3}\)
und
\(µ^2 = (\frac {2} {3})^2= \frac{4}{9}\), das heißt für die Varianz folgt
\(Var(X) = E(X^2) – µ^2 = \frac{17}{9}\).
Weiteres Beispiel
Bei einem Spiel wird gewürfelt. Erscheint eine Sechs, darf man noch einmal würfeln, maximal wird dreimal gewürfelt. Die Zufallsgröße \(X\) gibt die Anzahl der gewürfelten Sechser an.
Wie groß ist die Standardabweichung von \(X\)?
Als erstes benötigt man die Wahrscheinlichkeitsverteilung der Zufallsgröße \(X\).
\[\begin{array} {c|c} x & 0 & 1 & 2 & 3 \\ \hline P(X = x) & \frac{5}{6} & \frac{5}{36} & \frac{5}{216} & \frac{1}{216} \end{array}\]
Nun kann man den Erwartungswert nach Definition ausrechnen: \(E(X) = 0 \cdot \frac{5}{6} + 1 \cdot \frac{5}{36} + 2 \cdot \frac{5}{216} + 3 \cdot \frac{1}{216} = \frac{43}{216}\)
Die Varianz lässt sich nach Definition oder Verschiebungsformel berechnen:
\(Var(X) = 0^2 \cdot \frac{5}{6} + 1^2 \cdot \frac{5}{36} + 2^2 \cdot \frac{5}{216} + 3^2 \cdot \frac{1}{216} – (\frac{43}{216})^2 \approx 0,23352 ⇒ σ(X) = \sqrt{Var(X)} \approx 0,48324\)