Rechnen mit Pfeilvektoren

Physiker haben erkannt, dass es sich lohnt, Kräfte durch Pfeile darzustellen. Mithilfe solcher Kraftpfeile kann man bereits auf dem Papier untersuchen, ob und wie sich mehrere an einem physikalischen Objekt angreifende Kräfte durch eine einzige Kraft ersetzen lassen können.

Die Vorgehensweise zur Ermittlung der Kraft, die die Wirkung zweier (am selben Punkt) angreifenden Kräfte ersetzen kann, ist nichts anderes als das Addieren von zwei Pfeilvektoren.

Interpretiert man Pfeile als Repräsentanten von „Verschiebungsanweisungen“, so lässt sich das Addieren von zwei Vektorpfeilen aber auch aus geometrischer Sicht sehr anschaulich nachvollziehen

In diesem Kapitel lernen Sie

  • verschiedene Vorgehensweisen, wie man zwei oder mehrere Pfeilvektoren addieren kann, und zwei sehr nützliche Rechenregeln, die zum Addieren von Pfeilvektoren dazu gehören.
  • was ein Nullvektor ist, was man unter einem Gegenvektor eines Pfeilvektors versteht und wie eng verwandt die Subtraktion zweier Pfeilvektoren mit der Addition zweier Pfeilvektoren ist.
  • wie man einen Pfeilvektor neu „skalieren“ kann.

\(\require{color}\definecolor{energy}{RGB}{114,0,172}\newcommand{\R}{{\rm I\!R}}\)

Fragen, die Sie am Ende dieses Kapitels beantworten können sollten

  • Pfeilvektoren als Verschiebungsanweisungen interpretiert werden. Welchen Vorgang beschreibt die Addition zweier Pfeilvektoren im Sinne solcher Verschiebungsanweisungen?
  • Bei der Addition zweier Pfeilvektoren erhält man als Ergebnis einen weiteren Pfeilvektor. Welche graphischen Möglichkeiten gibt es, um einen Repräsentanten dieses Pfeils zu erhalten?
  • Was versteht man unter dem „Nullvektor“ und unter welcher Voraussetzung kann er bei der Addition von drei Vektorpfeilen entstehen?
  • Welche Rolle spielt die Reihenfolge bei der Addition zweier Pfeilvektoren?

  • Vektorpfeile können als Verschiebungsanweisungen interpretiert werden. Welchen Vorgang beschreibt die Subtraktion zweier Vektorpfeile im Sinne solcher Verschiebungsanweisungen?
  • Bei der Subtraktion zweier Pfeilvektoren erhält man als Ergebnis einen weiteren Pfeilvektor. Welche graphischen Möglichkeiten gibt es, um einen Repräsentanten dieses Pfeilvektors zu erhalten?
  • Welche Rolle spielt die Reihenfolge bei der Subtraktion zweier Pfeilvektoren?
  • Was versteht man unter dem „Gegenvektor“ eines Pfeilvektors und welche Bedeutung hat er bei der Subtraktion zweier Pfeilvektoren?

  • Wie wirkt sich die Multiplikation eines Pfeilvektors mit der Zahl -1 auf ihn aus?
  • Mit welcher Zahl muss ein Pfeilvektor multipliziert werden, damit der resultierende Pfeilvektor Repräsentanten mit doppelter Länge, aber entgegengesetzter Orientierung besitzt?
  • Gibt es einen Pfeilvektor, der mit der Zahl 3 multipliziert werden kann, ohne dass sich dabei seine Länge ändert?

Addition von Pfeilvektoren

Ein Objekt (z.B. ein Dreieck) kann man selbstverständlich auch mehrmals verschieben. Diesen Vorgang können Sie sich in dem nebenstehenden Geogebra-Applet vorführen lassen.

Führt man

  • nach einer ersten Verschiebung  \(\color{blue}{\overrightarrow{u}}\)
  • zusätzlich noch eine zweite Verschiebung  \(\color{green}{\overrightarrow{v}}\)

durch, so kann man diesen Vorgang

  • insgesamt durch eine einzige Verschiebung  \(\color{red}{\overrightarrow{z}}\)   ersetzen, die zum selben Ziel führt.

Versuchen Sie, mit eigenen Worten zu beschreiben, wie man einen Pfeil der Ersatzverschiebung  \(\color{red}{\overrightarrow{z}}\)  für die Pfeilvektor-Summe  \({\color{blue}{\overrightarrow{u}}} + {\color{green}{\overrightarrow{v}}}\)  graphisch ermitteln kann.

Man hängt

  • einen Repräsentanten von  \(\color{green}{\overrightarrow{v}}\)  mit dessen Fußpunkt
  • an die Spitze eines Repräsentanten von  \(\color{blue}{\overrightarrow{u}}\).

Zeichnet man nun einen Pfeil,

  • der vom Fußpunkt von \(\color{blue}{\overrightarrow{u}}\)
  • zur Spitze von \(\color{green}{\overrightarrow{v}}\)  zeigt,

so ist dieser Pfeil ein Repräsentant der Ersatzverschiebung  \(\color{red}{\overrightarrow{z}}\)  von  \({\color{blue}{\overrightarrow{u}}} + {\color{green}{\overrightarrow{v}}}\).

 

 

Pfeilvektor-Addition

Aus mathematischer Sicht handelt es sich bei der Nacheinander-Ausführung der Verschiebungen  \(\color{blue}{\overrightarrow{u}}\)  und  \(\color{green}{\overrightarrow{v}}\)  um eine „Verknüpfung“ der beiden Pfeilvektoren \(\color{blue}{\overrightarrow{u}}\)  und  \(\color{green}{\overrightarrow{v}}\),  wobei sich das Ergebnis dieser Verküpfung selbst auch wieder als Pfeilvektor darstellen lässt.

Es zeigt sich, dass diese „Verknüpfung“ genau die gleichen Eigenschaften besitzt wie die Addition von Zahlen. Daher nennt man diese „Verknüpfung“ auch Pfeilvektor-Addition und verwendet als Verknüpfungszeichen das bekannte Pluszeichen  \(+\).

Für die Nacheinander-Ausführung der Verschiebungen  \(\color{blue}{\overrightarrow{u}}\)  und  \(\color{green}{\overrightarrow{v}}\)  schreibt man kurz:  \({\color{blue}{\overrightarrow{u}}}+{\color{green}{\overrightarrow{v}}}\)

Dass die Verschiebung  \(\color{red}{\overrightarrow{z}}\)  zum selben Ziel führt, beschreibt man kurz mit:  \({\color{red}{\overrightarrow{z}}} ={\color{blue}{\overrightarrow{u}}}+{\color{green}{\overrightarrow{v}}}\)

Das Ergebnis einer Pfeilvektor-Addition ist die Ersatzverschiebung  \(\color{red}{\overrightarrow{z}}\), die zum selben Ziel führt wie die Nacheinander-Ausführung der beiden Verschiebungen  \(\color{blue}{\overrightarrow{u}}\)  und  \(\color{green}{\overrightarrow{v}}\).

Aufgabe

Führen Sie im nachfolgenden Geogebra-Applet die Addition zweier Pfeilvektoren selber durch. Sie erhalten eine positive Rückmeldung im Geogebra-Applet, sobald der Repräsentant  \(\color{darkorange}{\overrightarrow{c}}\)  korrekt ist.

 

 

Eigenschaften der Pfeilvektor-Addition

Auf folgende „Gesetze“ (die es auch bei der Addition von Zahlen gibt) darf und muss man sich auch bei der Pfeilvektor-Addition verlassen:

Kommutativgesetz der Pfeilvektor-Addition

Es gilt:  \({\color{blue}{\overrightarrow{u}}}+{\color{green}{\overrightarrow{v}}}={\color{green}{\overrightarrow{v}}}+{\color{blue}{\overrightarrow{u}}}\)

Das heißt:

Die Reihenfolge der beiden Pfeilvektoren ist egal.

Assoziativgesetz der Pfeilvektor-Addition

Es gilt:  \(({\color{blue}{\overrightarrow{u}}}+{\color{green}{\overrightarrow{v}}})+{\color{magenta}{\overrightarrow{w}}}={\color{blue}{\overrightarrow{u}}}+({\color{green}{\overrightarrow{v}}}+{\color{magenta}{\overrightarrow{w}}})\)

Somit ist auch geklärt, wie der Ersatzvektor zu bilden ist, wenn mehr als 2 Pfeilvektoren addiert werden.

Darstellung der Pfeilvektor-Summe als Vektorkette

Aus dem Kommutativgesetz und dem Assoziativgesetz kann man folgern, dass es auch bei einer Pfeilvektor-Summe mit mehr als 2 Pfeilvektoren vollkommen egal ist, in welcher Reihenfolge man dabei vorgeht.

Man nimmt von allen beteiligten Pfeilvektoren jeweils einen Repräsentanten und hängt diesen mit dem Fuß an die Spitze des jeweils vorherigen Repräsentanten. Auf diese Weise entsteht eine sog. „Pfeilvektor-Kette„.

Überzeugen Sie sich im nebenstehenden Geogebra-Applet davon, dass

  • trotz Veränderung der Reihenfolge der aneinandergehängten Repräsentanten
  • die Ersatzverschiebung stets die gleiche bleibt.
 

 

Die Notwendigkeit eines Nullvektors

Nach der Durchführung verschiedener Verschiebungen nacheinander (z.B.  \({\color{blue}{\overrightarrow{u}}} + {\color{green}{\overrightarrow{v}}} + {\color{magenta}{\overrightarrow{w}}}\) )  kann es passieren, dass man wieder am Ausgangspunkt ankommt. Man hätte sich also alle Verschiebungen sparen können.

Da allerdings die Forderung besteht, dass das Ergebnis einer Pfeilvektor-Addition selbst auch wieder ein Pfeilvektor ist, muss man für diesen „Stillstand“ einen Pfeilvektor definieren:

Der Pfeilvektor, der die Verschiebungsanweisung beschreibt, die ein Objekt überhaupt nicht verschiebt,

  • heißt „Nullvektor“ und
  • wird bezeichnet mit  \(\overrightarrow{0}\).

Wenn die Situation vorliegt, dass  \({\color{blue}{\overrightarrow{u}}} + {\color{green}{\overrightarrow{v}}} + {\color{magenta}{\overrightarrow{w}}} = \overrightarrow{0}\)  ist, dann bedeutet dass, dass man einfach gar keine Verschiebung durchführen muss, anstatt die Verschiebungsanweisungen  \({\color{blue}{\overrightarrow{u}}}\),  \({\color{green}{\overrightarrow{v}}}\)  und  \({\color{magenta}{\overrightarrow{w}}}\)  nacheinander zu befolgen.

Ein Repräsentant des Nullvektors ist ein sehr aus der Art geschlagener Pfeil:

  • Es hat keine Länge, keine Richtung und keine Orientierung!
  • Sein Fußpunkt und seine Spitze sind identisch.

Man kann ihn graphisch höchstens punktförmig darstellen (es ist dennoch KEIN Punkt, sondern ein sog. „entarteter Pfeil“).

Zusammenhang zwischen dem Nullvektor und der geschlossenen Vektorkette

Wenn die Situation vorliegt, dass  \({\color{blue}{\overrightarrow{u}}} + {\color{green}{\overrightarrow{v}}} + {\color{magenta}{\overrightarrow{w}}} = \overrightarrow{0}\)  gilt, erkennt man das sofort, sobald man die Repräsentanten der beteiligten Verschiebungsanweisungen aneinander gehängt hat. Warum?

Hängt man die Repräsentanten der beteiligten Pfeilvektoren alle aneinander, muss eine „Pfeil-Kette“ entstehen,

  • deren letzter Repräsentant in der Kette mit seiner Spitze
  • auf den Fußpunkt des ersten Repräsentanten in der Kette

zeigt. Eine solche Pfeilkette, die genau dort endet, wo sie beginnt, nennt man auch „geschlossene Vektorkette„.

Sie können das im nebenstehenden Geogebra-Applet beobachten, indem Sie z.B. den Pfeil  \({\color{magenta}{\overrightarrow{w}}}\)  geeignet verändert. Falls Sie nicht auf die Lösung kommen, klicken Sie auf die Schaltfläche mit der Aufschrift „Nullvektor“.

Beobachten Sie dabei auch den Repräsentanten der Ersatzverschiebung \({\color{red}{\overrightarrow{z}}}\)

Wenn das Wort „Pfeil-Kette“ heißen würde, würde man erwarten, dass eine Kette von aneinanderhängenden Pfeilen zu sehen sein muss.

Das Wort „Vektor-Kette“ fordert das NICHT! Wenn eine Vektor-Kette vorliegt, müssen sich die Repräsentanten von allen beteiligten Summanden insgesamt so verschieben lassen, dass eine Pfeil-Kette entsteht.

 

 

Subtraktion von Pfeilvektoren

Werfen wir zunächst noch einmal einen Blick auf die Subtraktion von Zahlen. An einem einfachen Beispiel ist zu erkennen, dass man eine Zahl von einer anderen subtrahieren kann, indem man ihre sog. „Gegenzahl“ addiert:

\(10\ -\ 6 = 10 + (-6)\).

Die „Gegenzahl“ einer Zahl ist offenbar die Zahl mit umgedrehtem Vorzeichen: so ist die Gegenzahl der  \(6\)  die  \(-6\).

Benötigt: Der Gegenvektor eines Pfeilvektors

Beobachten Sie im nebenstehenden Geogebra-Applet, auf welche Weise der sog. Gegenvektor eines Pfeilvektors bei der Subtraktion zweier Pfeilvektoren eingesetzt wird. Starten Sie dazu die Animation und verändern Sie die Repräsentanten von  \(\color{blue}{\overrightarrow{u}}\)  und  \(\color{green}{\overrightarrow{v}}\).

Eine Verschiebungsanweisung, die eine Verschiebungsanweisung  \(\color{green}{\overrightarrow{v}}\)  wieder rückgängig macht,  wird symbolisch mit  \(\color{energy}{-\overrightarrow{v}}\)   bezeichnet.

Kurz:  \({\color{green}{\overrightarrow{v}}} + ({\color{energy}{-\overrightarrow{v}}}) = \overrightarrow{0}\)

Der Pfeilvektor  \(\color{energy}{-\overrightarrow{v}}\)

  • heißt auch Gegenvektor von  \(\color{green}{\overrightarrow{v}}\),
  • hat gleiche Länge und die gleiche Richtung wie  \(\color{green}{\overrightarrow{v}}\),
  • hat aber die entgegengesetzte Orientierung von  \(\color{green}{\overrightarrow{v}}\).

Versuchen Sie, mit eigenen Worten zu beschreiben, wie man einen Pfeil der Ersatzverschiebung  \(\color{red}{\overrightarrow{z}}\)  für die Pfeilvektor-Differenz  \({\color{blue}{\overrightarrow{u}}}\,{-}\,{\color{green}{\overrightarrow{v}}}\)  graphisch ermitteln kann.

Man hängt

  • einen Repräsentanten von  \(\color{energy}{-\overrightarrow{v}}\)  mit dessen Fußpunkt
  • an die Spitze eines Repräsentanten von  \(\color{blue}{\overrightarrow{u}}\).

Zeichnet man nun einen Pfeil,

  • der vom Fußpunkt von \(\color{blue}{\overrightarrow{u}}\)
  • zur Spitze von \(\color{energy}{-\overrightarrow{v}}\)  zeigt,

so ist dieser Pfeil ein Repräsentant der Ersatzverschiebung  \(\color{red}{\overrightarrow{z}}\)  von  \({\color{blue}{\overrightarrow{u}}}\,{-}\,{\color{green}{\overrightarrow{v}}}\).

 

 

Pfeilvektor-Subtraktion

Man definiert die Pfeilvektor-Subtraktion zweier Vektoren  \(\color{blue}{\overrightarrow{u}}\)  und  \(\color{green}{\overrightarrow{v}}\)  mit dem Verknüfpungszeichen  \(-\)  auf folgende Weise:

\({\color{blue}{\overrightarrow{u}}}\,{-}\,{\color{green}{\overrightarrow{v}}}={\color{blue}{\overrightarrow{u}}}+ ({\color{energy}{-\overrightarrow{v}}})\)

Das heißt:

Auch  \({\color{blue}{\overrightarrow{u}}}\,{-}\,{\color{green}{\overrightarrow{v}}}\)  beschreibt eine Nacheinander-Ausführung zweier Verschiebungen, wobei

  • zuerst die Verschiebung  \(\color{blue}{\overrightarrow{u}}\)  durchgeführt wird und
  • anschließend die Verschiebung  \(\color{energy}{-\overrightarrow{v}}\).

Dass die Verschiebung  \(\color{red}{\overrightarrow{z}}\)  zum selben Ziel führt, beschreibt man kurz mit:  \({\color{red}{\overrightarrow{z}}} ={\color{blue}{\overrightarrow{u}}}\,{-}\,{\color{green}{\overrightarrow{v}}}\)

Das Ergebnis einer Pfeilvektor-Subtraktion ist die Ersatzverschiebung  \(\color{red}{\overrightarrow{z}}\), die zum selben Ziel führt wie die Nacheinander-Ausführung der beiden Verschiebungen  \(\color{blue}{\overrightarrow{u}}\)  und  \(\color{energy}{-\overrightarrow{v}}\).

Aufgaben zur Addition und zur Subtraktion

a) Führen Sie im nachfolgenden Geogebra-Applet die Subtraktion zweier Pfeilvektoren selber durch. Sie erhalten eine positive Rückmeldung im Geogebra-Applet, sobald der Repräsentant  \(\color{darkorange}{\overrightarrow{c}}\)  korrekt ist.

 

 

b) Noch eine Möglichkeit ist, die Spitzen der Repräsentanten  \(\color{blue}{\overrightarrow{a}}\)  und  \(\color{energy}{\overrightarrow{b}}\)  im selben Punkt anzusetzen. Wie findet man dann einen Repräsentanten  \(\color{darkorange}{\overrightarrow{c}}\)  von  \({\color{blue}{\overrightarrow{a}}}\,{-}\,{\color{energy}{\overrightarrow{b}}}\)?

Setzt man die Spitzen der beiden Repräsentanten  \(\color{blue}{\overrightarrow{a}}\)  und  \(\color{energy}{\overrightarrow{b}}\)  im selben Punkt an, so ist ein Repräsentant der Ersatzverschiebung  \(\color{orange}{\overrightarrow{c}}\)  von  \({\color{blue}{\overrightarrow{a}}}\,{-}\,{\color{energy}{\overrightarrow{b}}}\)  derjenige Pfeil, der

  • vom Fußpunkt von  \(\color{blue}{\overrightarrow{a}}\)
  • zum Fußpunkt von  \(\color{energy}{\overrightarrow{b}}\)

verläuft.

c) Eine alternative Möglichkeit ist, die Fußpunkte der Repräsentanten  \(\color{blue}{\overrightarrow{a}}\)  und  \(\color{energy}{\overrightarrow{b}}\)  im selben Punkt anzusetzen. Wie findet man dann einen Repräsentanten  \(\color{darkorange}{\overrightarrow{c}}\)  von  \({\color{blue}{\overrightarrow{a}}}\,{-}\,{\color{energy}{\overrightarrow{b}}}\)?

Setzt man die Fußpunkte der beiden Repräsentanten  \(\color{blue}{\overrightarrow{a}}\)  und  \(\color{energy}{\overrightarrow{b}}\)  im selben Punkt an, so ist ein Repräsentant der Ersatzverschiebung  \(\color{orange}{\overrightarrow{c}}\)  von  \({\color{blue}{\overrightarrow{a}}}\,{-}\,{\color{energy}{\overrightarrow{b}}}\)  derjenige Pfeil, der

  • von der Spitze von  \(\color{energy}{\overrightarrow{b}}\)
  • zur Spitze von  \(\color{blue}{\overrightarrow{a}}\)

verläuft.

d) Überlegen Sie selber, ob es ein Kommutativgesetz für die Pfeilvektor-Subtraktion gibt!

Setzt man die Fußpunkte der beiden Repräsentanten  \(\color{blue}{\overrightarrow{a}}\)  und  \(\color{energy}{\overrightarrow{b}}\)  im selben Punkt an,

  • so ist ein Repräsentant der Ersatzverschiebung  von  \({\color{blue}{\overrightarrow{a}}}\,{-}\,{\color{energy}{\overrightarrow{b}}}\)  derjenige Pfeil, der
    • von der Spitze von  \(\color{energy}{\overrightarrow{b}}\)
    • zur Spitze von  \(\color{blue}{\overrightarrow{a}}\)  verläuft.
  • so ist ein Repräsentant der Ersatzverschiebung  von  \({\color{energy}{\overrightarrow{b}}}\,{-}\,{\color{blue}{\overrightarrow{a}}}\)  derjenige Pfeil, der
    • von der Spitze von  \(\color{blue}{\overrightarrow{a}}\)
    • zur Spitze von  \(\color{energy}{\overrightarrow{b}}\)  verläuft.

Das bedeutet:

\({\color{blue}{\overrightarrow{a}}}\,{-}\,{\color{energy}{\overrightarrow{b}}}\)  ist der Gegenvektor von  \({\color{energy}{\overrightarrow{b}}}\,{-}\,{\color{blue}{\overrightarrow{a}}}\).

Also dürfen die Pfeilvektoren bei der Pfeilvektor-Subtraktion NICHT vertauscht werden, und somit gibt es für die Pfeilvektor-Subtraktion KEIN Kommutativgesetz.

e) Im nachfolgenden Geogebra-Applet sollen Sie versuchen, den Repräsentanten des Vektors  \(\overrightarrow{x}\)  so zu verändern,  dass die angegebene Vektor-Gleichung zu einer wahren Aussage wird.

Sie erhalten eine positive Rückmeldung im Geogebra-Applet, sobald der Repräsentant von  \(\overrightarrow{x}\)  korrekt ist.

  • Durch mehrmaligs Klicken auf die Schaltfläche mit der Aufschrift „Lösung“ können Sie sich schrittweise eine mögliche Lösung vorführen lassen.
  • Anschließend können Sie es selber noch einmal probieren, indem Sie auf den Schaltfläche mit der Aufschrift „Zurücksetzen“ klicken.
  • Falls Ihnen die Pfeile zu unhandlich erscheinen, können Sie die gleiche Aufgaben mit anderen Pfeilen probieren, indem Sie auf die Schaltfläche mit der Aufschrift „Neue Pfeile“ klicken.
 

 

Multiplikation einer Zahl mit einem Pfeilvektor

Erste Beobachtung: Vervielfachende Wirkung

Soll eine Figur k-mal nacheinander mithilfe derselben Verschiebungsanweisung  \({\color{blue}{\overrightarrow{u}}}\)  verschoben werden, so kann man diesen Vorgang als Pfeilvektor-Summe darstellen:

\({\color{red}{\overrightarrow{z}}} = \underbrace{{\color{blue}{\overrightarrow{u}}}+…+{\color{blue}{\overrightarrow{u}}}}_{\substack{\text{k-mal der}\\\text{gleiche Summand}}}\)

Ab einer bestimmten Anzahl von gleichen Summanden wird es lästig, sie alle aufzuschreiben. Daher definiert man eine einleuchtende und kürzere Schreibweise:

\({\color{red}{\overrightarrow{z}}} = k\cdot{\color{blue}{\overrightarrow{u}}}\)

Das heißt:  \(k\cdot{\color{blue}{\overrightarrow{u}}}\)  bedeutet  \(\underbrace{{\color{blue}{\overrightarrow{u}}}+…+{\color{blue}{\overrightarrow{u}}}}_{\substack{\text{k-mal der}\\\text{gleiche Summand}}}\).

Beobachten Sie im nachfolgenden Geogebra-Applet, was passiert, wenn man eine negative Zahl an einen Pfeilvektor multipliziert.

 

 

Die skalierende Wirkung des Vorfaktors

Während bei der ersten Betrachtung der ganzzahlige Vorfaktor angegeben, wie oft die gleiche Verschiebungsanweisung zu befolgen ist, lohnt es sich, den Vorfaktor auch in seinem Einfluss auf die Eigenschaften des Pfeilvektors betrachten.

Beobachten Sie im nebenstehenden Geogebra-Applet die Wirkung des Vorfaktors  \(k\)  auf die Richtung, Orientierung und Länge von  \(k\cdot {\color{blue}{\overrightarrow{u}}}\)  verglichen mit der Richtung, Orientierung und Länge von  \( {\color{blue}{\overrightarrow{u}}}\).

Die Repräsentanten der Ersatzverschiebung  \({\color{red}{\overrightarrow{z}}}\)  von  \(k\cdot {\color{blue}{\overrightarrow{u}}}\)  sind

  • parallel zu  \( {\color{blue}{\overrightarrow{u}}}\),
  • für  \(k>0\)  genauso orientiert wie  \( {\color{blue}{\overrightarrow{u}}}\),
  • für  \(k<0\)  entgegengesetzt orientiert zu  \( {\color{blue}{\overrightarrow{u}}}\),
  • \(|k|\)-mal so lang wie  \( {\color{blue}{\overrightarrow{u}}}\).
 

 

Multiplikation einer Zahl mit einem Pfeilvektor

Ist  \(k\)  eine reelle Zahl und ist  \({\color{blue}{\overrightarrow{u}}}\)  ein Pfeilvektor, dann ist auch  \(k\cdot {\color{blue}{\overrightarrow{u}}}\)  ein Pfeilvektor.

Die Repräsentanten von  \(k\cdot {\color{blue}{\overrightarrow{u}}}\)  sind

  • parallel zu  \({\color{blue}{\overrightarrow{u}}}\),
  • für  \(k>0\)  genauso orientiert wie  \( {\color{blue}{\overrightarrow{u}}}\),
  • für  \(k<0\)  entgegengesetzt orientiert zu  \( {\color{blue}{\overrightarrow{u}}}\),
  • \(|k|\)-mal so lang wie  \( {\color{blue}{\overrightarrow{u}}}\).

Der Faktor  \(k\)   heißt aufgrund seiner skalierenden Wirkung auch

  • „skalierender Faktor“ oder noch kürzer
  • „Skalar„.

Die „Multiplikation einer Zahl mit einem Pfeilvektor“ wird oft auch etwas kompakter als „Skalar-Vektor-Multiplikation“ bezeichnet.

Aufgabe

Führen Sie im nachfolgenden Geogebra-Applet die Multiplikation einer Zahl mit einem Pfeilvektor selber durch. Sie erhalten eine positive Rückmeldung im Geogebra-Applet, sobald der Repräsentant  \(\color{darkorange}{\overrightarrow{c}}\)  korrekt ist.

 

 

Eigenschaften der Multiplikation einer Zahl mit einem Pfeilvektor

Auf folgende “Gesetze” darf und muss man sich bei der Multiplikation einer Zahl mit einem Pfeilvektor verlassen (sie entsprechen dem, was man intuitiv auch erwarten würde):

Das S-Distributivgesetz

Für beliebige Pfeilvektoren  \({\color{blue}{\overrightarrow{u}}}\)  und beliebige Zahlen  \(r,\ s\in\R\)  gilt:

\((r + s)\cdot{\color{blue}{\overrightarrow{u}}} = r\cdot{\color{blue}{\overrightarrow{u}}}+s\cdot{\color{blue}{\overrightarrow{u}}}\)

Das V-Distributivgesetz

Für beliebige Pfeilvektoren  \({\color{blue}{\overrightarrow{u}}}\)  und  \({\color{green}{\overrightarrow{v}}}\)  und beliebige Zahlen  \(r\in\R\)  gilt:

\(r\cdot ({\color{blue}{\overrightarrow{u}}}+{\color{green}{\overrightarrow{v}}}) = r\cdot{\color{blue}{\overrightarrow{u}}}+r\cdot{\color{green}{\overrightarrow{v}}}\)

Das gemischte Assoziativgesetz

Für beliebige Pfeilvektoren  \({\color{blue}{\overrightarrow{u}}}\)  und beliebige Zahlen  \(r,\ s\in\R\)  gilt:

\(r\cdot(s\cdot{\color{blue}{\overrightarrow{u}}}) = (r\cdot s)\cdot{\color{blue}{\overrightarrow{u}}}\)

Grundlegende Eigenschaften

Für beliebige Pfeilvektoren  \({\color{blue}{\overrightarrow{u}}}\)  und beliebige Zahlen  \(r\in\R\)  gilt:

  •  \(1\cdot{\color{blue}{\overrightarrow{u}}} = {\color{blue}{\overrightarrow{u}}}\)
  •  \(0\cdot{\color{blue}{\overrightarrow{u}}} = \overrightarrow{0}\)
  •  \(r\cdot\overrightarrow{0}= \overrightarrow{0}\)
  •  \(r\cdot({\color{blue}{-\overrightarrow{u}}}) = (-r)\cdot{\color{blue}{\overrightarrow{u}}} = -(r\cdot{\color{blue}{\overrightarrow{u}}})\)

Aufgaben zur Addition, Subtraktion und Skalar-Vektor-Multiplikation

Im nachfolgenden Geogebra-Applet sollen Sie versuchen, den Repräsentanten des Vektors  \(\overrightarrow{x}\)  so zu verändern,  dass die angegebene Vektor-Gleichung zu einer wahren Aussage wird.

Sie erhalten eine positive Rückmeldung im Geogebra-Applet, sobald der Repräsentant von  \(\overrightarrow{x}\)  korrekt ist.

  • Durch mehrmaligs Klicken auf die Schaltfläche mit der Aufschrift „Lösung“ können Sie sich schrittweise eine mögliche Lösung vorführen lassen.
  • Anschließend können Sie es selber noch einmal probieren, indem Sie auf den Schaltfläche mit der Aufschrift „Zurücksetzen“ klicken.
  • Falls Ihnen die Pfeile zu unhandlich erscheinen, können Sie die gleiche Aufgaben mit anderen Pfeilen probieren, indem Sie auf die Schaltfläche mit der Aufschrift „Neue Pfeile“ klicken.
 

 

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