Linearkombinationen und lineare Abhängigkeit von Pfeilvektoren

Aufgaben zur Ermittlung von Linearkombinationen

Aufgabe 1

Im nachfolgenden Geogebra-Applet sollen Sie versuchen, eine Darstellung eines Vektors  \(\vec{c}\)  als Linearkombination der Vektoren  \(\vec{a}\)  und  \(\vec{b}\)  zu finden, sofern möglich.

Es kann sein, dass es

• gar keine Möglichkeit,
• genau eine Möglichkeit, oder
• unendlich viele Möglichkeiten

gibt.

Hinweis:

Das für die Lösung benötigte Gleichungssystem können Sie im Geogebra-Applet, das sich rechts neben der Aufgabe befindet, mithilfe des Gauß-Verfahrens umformen, bis Sie die Lösung erkennen.

Es wird automatisch an die Aufgabe angepasst.

Aufgabe 2

Im nachfolgenden Geogebra-Applet sollen Sie versuchen, eine Darstellung eines Vektors  \(\vec{d}\)  als Linearkombination der Vektoren  \(\vec{a}\),  \(\vec{b}\)  und  \(\vec{c}\)  zu finden, sofern möglich.

Es kann sein, dass es

• gar keine Möglichkeit,
• genau eine Möglichkeit, oder
• unendlich viele Möglichkeiten

gibt.

Hinweis:

Das für die Lösung benötigte Gleichungssystem können Sie im Geogebra-Applet, das sich rechts neben der Aufgabe befindet, mithilfe des Gauß-Verfahrens umformen, bis Sie die Lösung erkennen.

Es wird automatisch an die Aufgabe angepasst.

Vektoren, die voneinander abhängen

Lässt sich ein Vektor  \(\vec[blue]{u}\)  durch andere Vektoren  \(\vec{v_1}, …, \vec{v_n}\)  darstellen, sokann man diesen Zusammenhang zwischen    \(\vec[blue]{u}\)  und  \(\vec{v_1}, …, \vec{v_n}\)  auch dadurch beschreiben, dass man sagt: “ \(\vec[blue]{u}\)  hängt von  \(\vec{v_1}, …, \vec{v_n}\)  ab.“

Beispiel 1:

Gilt für 2 Vektoren  \(\vec[blue]{u}\)  und  \(\vec[green]{a}\)  der Zusammenhang  \(\vec[blue]{u} = k\cdot\vec[green]{a}\), so kann man folgern:

•  \(\vec[blue]{u}\)  hängt von  \(\vec[green]{a}\)  ab.
•  \(\vec[blue]{u}\)  ist ein Vielfaches von  \(\vec[green]{a}\).
•  \(\vec[blue]{u}\)  und  \(\vec[green]{a}\)  sind parallel.

\(\ \)

Beispiel 2:

Gilt für 3 Vektoren \(\vec[blue]{u}\),  \(\vec[green]{a}\)  und  \(\vec[green]{b}\)  der Zusammenhang  \(\vec[blue]{u} = k_1\cdot\vec[green]{a} + k_2\cdot\vec[green]{b}\), so kann man folgern:

•  \(\vec[blue]{u}\)  hängt von  \(\vec[green]{a}\)  oder  \(\vec[green]{b}\)  oder von beiden ab.
•  \(\vec[blue]{u}\)  ist eine Linearkombination von  \(\vec[green]{a}\)  und  \(\vec[green]{b}\).
•  \(\vec[blue]{u}\),  \(\vec[green]{a}\)  und  \(\vec[green]{b}\)  sind entweder parallel oder zumindest parallel zu einer gemeinsamen Ebene.

Aufgabe zu Beispiel 1 und Beispiel 2

Versuchen Sie, im nachfolgenden Geogebra-Applet die beiden nebenstehenden Beispiele graphisch nachzuverfolgen.

Aufgabe (Beispiel zur Abhängigkeit von 2-dimensionalen Vektoren)

Gegeben sind die Vektoren  \(\vec[blue]{u}\!=\!\vv{-3}{6}\),  \(\vec[green]{a}\!=\!\vv{2}{-4}\)  und  \(\vec[green]{b}\!=\!\vv{1}{-1}\).

a) Geben Sie den Vektor  \(\vec[blue]{u}\)  als Linearkombination von  \(\vec[green]{a}\)  und  \(\vec[green]{b}\)  an.

b) Nehmen Sie außerdem Stellung zu den folgenden beiden Aussagen.

• Aussage 1: “ \(\vec[blue]{u}\)  hängt von  \(\vec[green]{a}\)  und  \(\vec[green]{b}\)  ab.“

• Aussage 2: “ \(\vec[green]{b}\)  hängt von  \(\vec[green]{a}\)  und  \(\vec[blue]{u}\)  ab.“

Lineare Abhängigkeit bzw. Unabhängigkeit einer Menge von Vektoren

Eine Menge  \(M=\{\vec{v_1}, …,\vec{v_n}\}\)  heißt genau dann „linear abhängig„, wenn sich wenigstens einer der Vektoren aus  \(M\)  als Linearkombination der anderen Vektoren aus  \(M\)  darstellen lässt.

Die Aussage „Die Vektoren  \(\vec{v_1}\), …,\(\vec{v_n}\)  sind linear abhängig.“ soll bedeuten: „Die Menge   \(\{\vec{v_1}, …,\vec{v_n}\}\)  ist linear abhängig„.

Beispiel:  \(\vec[blue]{u}\!=\!\vv{-3}{6}\),  \(\vec[green]{a}\!=\!\vv{2}{-4}\), \(\vec[green]{b}\!=\!\vv{1}{-1}\).

Die Menge  \(M=\{\vec[blue]{u}, \vec[green]{a},  \vec[green]{b}\}\)  ist linear abhängig,  weil sich  \(\vec[blue]{u}\)  in der Form  \(\vec[blue]{u}= -1{,}5\cdot\vec[green]{a}+0\cdot\vec[green]{b}\)  darstellen lässt .

Eine Menge  \(M=\{\vec{v_1}, …,\vec{v_n}\}\)  heißt genau dann „linear unabhängig„, wenn sich keiner der Vektoren aus  \(M\)  als Linearkombination der anderen Vektoren aus  \(M\)  darstellen lässt.

Die Aussage „Die Vektoren  \(\vec{v_1}\), …,\(\vec{v_n}\)  sind linear unabhängig.“ soll bedeuten: „Die Menge  \(\{\vec{v_1}, …,\vec{v_n}\}\)  ist linear unabhängig„.

Beispiel:  \(\vec{v_1}\!=\!\vvv{1}{0}{0}\),  \(\vec{v_2}\!=\!\vvv{0}{1}{0}\), \(\vec{v_3}\!=\!\vvv{0}{0}{1}\).

Die Menge  \(M=\{\vec{v_1}, \vec{v_2},  \vec{v_3}\}\)  ist linear unabhängig,  weil es unmöglich ist, jeweils 2 Vektoren aus dieser Menge so linear zu kombinieren, dass der verbleibende Vektor damit dargestellt werden kann.

Untersuchung einer Menge von Vektoren auf lineare Abhängigkeit bzw. Unabhängigkeit

Um zu untersuchen, ob eine Menge  \(M=\{\vec{a}, \vec{b}, \vec{c}\}\)  von Vektoren linear abhängig ist, müsste man wenigstens einen Vektor aus  \(M\)  finden, der sich durch die anderen Vektoren aus  \(M\)  darstellen lässt.

Da sich in  \(M\)  trotzdem Vektoren befinden können, die sich NICHT durch die anderen Vektoren aus  \(M\)  darstellen lassen, ist es naheliegend zu vermuten, dass man alle Variationsmöglichkeiten testen muss:

1) Gibt es Werte  \(k_1\),  \(k_2\), so dass  \(\vec{a} = k_1\cdot\vec{b} + k_2\cdot\vec{c}\) ?
2) Gibt es Werte  \(k_3\),  \(k_4\), so dass  \(\vec{b} = k_3\cdot\vec{a} + k_4\cdot\vec{c}\) ?
3) Gibt es Werte  \(k_5\),  \(k_6\), so dass  \(\vec{c} = k_5\cdot\vec{a} + k_6\cdot\vec{b}\) ?

Muss man jedesmal alle diese Untersuchungen durchführen?

Trick: „Eine für alle“

Tatsächlich gibt es einen einfachen Trick, mit dem wir alle 3 Untersuchungen auf einmal durchführen können.

Eine clevere Überlegung (siehe rechts) zeigt, dass jede der 3 obigen Gleichungen durch diese einzige Gleichung abgedeckt ist:

\(\ell_1\cdot\vec{a} + \ell_2\cdot\vec{b} + \ell_3\cdot\vec{c} = \vec{0}\)

Dahinter steckt diese clevere Überlegung:

Man subtrahiert bei jeder der Gleichungen jeweils auf beiden Seiten den Vektor, der links vom Gleichheitszeichen steht, so dass auf der linken Seite jeweils nur noch der Nullvektor  \(\vec{0}\)  stehen bleibt.

Diese Gleichung stellt man als lineares Gleichungssystem mit den Variablen  \(\ell_1\),  \(\ell_2\)  und  \(\ell_3\)  dar und ermittelt dessen Lösungsmenge (z.B. mithilfe des Gauß-Verfahrens).

Das Praktische darin ist, dass es für die Art der Lösungsmenge nur 2 unterschiedliche Möglichkeiten gibt. Und die sind entscheidend dafür, ob die Menge  \(M=\{\vec{a}, \vec{b}, \vec{c}\}\)  linear abhängig ist oder nicht.

Möglichkeit 1 (unendlich viele Lösungen)

Der Ansatz  \(\ell_1\cdot\vec{a} + \ell_2\cdot\vec{b} + \ell_3\cdot\vec{c} = \vec{0}\)  führt bei dieser Möglichkeit zu einem Gleichungssystem, für das man unendlich viele Lösungen findet.

Folglich gibt es dann auch eine Lösung, bei der wenigstens eine der drei Variablen  \(\ell_1\),  \(\ell_2\)  oder  \(\ell_3\)  nicht Null ist.

Ist z.B.  \(\ell_2\neq 0\), so kann man die Vektorgleichung nach  \(\vec{b}\)  auflösen:

\(\phantom{\Rightarrow\quad\ }\ell_1\!\cdot\!\vec{a} + \ell_2\!\cdot\!\vec{b} + \ell_3\!\cdot\!\vec{c} = \vec{0}\)

\(\Rightarrow\quad\ell_2\!\cdot\!\vec{b} = -\ell_1\!\cdot\!\vec{a}\ -\ \ell_3\!\cdot\!\vec{c}\)

\(\Rightarrow\quad\vec{b} = -\frac{\ell_1}{\ell_2}\!\cdot\!\vec{a}\ -\ \frac{\ell_3}{\ell_2}\!\cdot\!\vec{c} \)

Also hätten wir einen Vektor in  \(M=\{\vec{a}, \vec{b}, \vec{c}\}\)  gefunden, der sich durch die anderen Vektoren aus  \(M\)  darstellen lässt.

Folglich haben wir in diesem Fall nachgewiesen, dass  \(M\)  linear abhängig ist.

Beispiel zu Möglichkeit 1

\(\vec{a}=\vvv{-3}{4}{6}\),  \(\vec{b}=\vvv{4}{-2}{-5}\),  \(\vec{c}=\vvv{7}{4}{-2}\)

Lösungsansatz: \(\ell_1\!\cdot\!\vec{a} + \ell_2\!\cdot\!\vec{b} + \ell_3\!\cdot\!\vec{c} = \vec{0}\)

\(\Rightarrow\quad\ell_1\!\cdot\!\vvv{-3}{4}{6} + \ell_2\!\cdot\!\vvv{4}{-2}{-5} + \ell_3\!\cdot\!\vvv{7}{4}{-2} = \vvv{0}{0}{0}\)

Diese Vektorgleichung lässt sich auch als lineares Gleichungssystem darstellen:

\(\begin{array}{rrrrl}\text{I)} & -3x &\!\!{+}\,4y &\!\!{+}\,7z & \!\!=0 \\ \text{II)} & 4x &\!\!{-}\,2y &\!\!{+}\,4z & \!\!=0 \\ \text{III)} & 6x &\!\!{-}\,5y &\!\!{-}\,2z & \!\!=0 \\ \end{array}\)

Da am Ende der Umformungen weniger Gleichungen als Variablen übrigbleiben, besitzt das Gleichungssystem unendlich viele Lösungen. Diese Erkenntnis genügt, um zu folgern, dass die Vektoren linear abhängig sind.

Möglichkeit 2 (nur eine einzige Lösung)

Wenn Möglichkeit 1 nicht vorliegt, dann führt der Ansatz  \(\ell_1\cdot\vec{a} + \ell_2\cdot\vec{b} + \ell_3\cdot\vec{c} = \vec{0}\)  zu einem Gleichungssystem, für das man nur eine einzige Lösung findet, und zwar  \(\ell_1=0\),  \(\ell_2=0\)  und  \(\ell_3=0\)  (die sog. „triviale Lösung„).

Das heißt, die einzige Möglichkeit, den Nullvektor  \(\vec{0}\)  als Linearkombination der Vektoren  \(\vec{a}\),  \(\vec{b}\)  oder  \(\vec{c}\)  dazustellen, ist diese: \(0\!\cdot\!\vec{a} + 0\!\cdot\!\vec{b} + 0\!\cdot\!\vec{c} = \vec{0}\)  (die sog. „triviale Linearkombination„).

Die Gleichung  \(0\!\cdot\!\vec{a} + 0\!\cdot\!\vec{b} + 0\!\cdot\!\vec{c} = \vec{0}\)  lässt sich offensichtlich nicht mehr so umstellen, dass einer der Vektoren  \(\vec{a}\),  \(\vec{b}\)  oder  \(\vec{c}\)  alleine auf einer Seite steht.

Also lässt sich keiner der Vektoren aus  \(M=\{\vec{a}, \vec{b}, \vec{c}\}\)  durch die anderen Vektoren aus  \(M\)  darstellen.

Die Menge  \(M\)  ist folglich NICHT linear abhängig.

Vielleicht etwas verständlicher ist die Formulierung:

Die Menge  \(M\)  ist linear unabhängig.

Beispiel zu Möglichkeit 2

\(\vec{a}=\vvv{3}{-2}{5}\),  \(\vec{b}=\vvv{-2}{2}{1}\),  \(\vec{c}=\vvv{4}{7}{-2}\)

Lösungsansatz: \(\ell_1\!\cdot\!\vec{a} + \ell_2\!\cdot\!\vec{b} + \ell_3\!\cdot\!\vec{c} = \vec{0}\)

\(\Rightarrow\quad\ell_1\!\cdot\!\vvv{3}{-2}{5} + \ell_2\!\cdot\!\vvv{-2}{2}{1} + \ell_3\!\cdot\!\vvv{4}{7}{-2} = \vvv{0}{0}{0}\)

Diese Vektorgleichung lässt sich auch als lineares Gleichungssystem darstellen:

\(\begin{array}{rrrrl}\text{I)} & 3x &\!\!{-}\,2y &\!\!{+}\,4z & \!\!=0 \\ \text{II)} & -2x &\!\!{+}\,2y &\!\!{+}\,z & \!\!=0 \\ \text{III)} & 5x &\!\!{+}\,y &\!\!{-}\,2z & \!\!=0 \\ \end{array}\)

Da am Ende der Umformungen genauso viele Gleichungen wie Variablen übrigbleiben, besitzt das Gleichungssystem genau eine Lösung. Diese Erkenntnis genügt, um zu folgern, dass die Vektoren linear unabhängig sind.

Zusammenfassung:

Eine Menge  \(M=\{\vec{v_1}, …,\vec{v_n}\}\)  ist genau dann „linear abhängig„, wenn der Ansatz

\(\ell_1\cdot\vec{v_1} + \ell_2\cdot\vec{v_2} + … + \ell_n\cdot\vec{v_n} = \vec{0}\)

zu einem Gleichungssystem führt, das unendlich viele Lösungen besitzt.

Eine Menge  \(M=\{\vec{v_1}, …,\vec{v_n}\}\)  ist genau dann „linear unabhängig„, wenn der Ansatz

\(\ell_1\cdot\vec{v_1} + \ell_2\cdot\vec{v_2} + … + \ell_n\cdot\vec{v_n} = \vec{0}\)

zu einem Gleichungssystem führt, das nur eine einzige Lösung besitzt.

(Es handelt sich dann um die sog. triviale Lösung  \(\ell_1=0, …\ell_n=0\) ).

Aufgabe zur Untersuchung auf lineare Abhängigkeit und lineare Unabhängigkeit

Im nachfolgenden Geogebra-Applet sollen Sie jeweils herausfinden, ob die Vektoren  \(\vec{a}\),  \(\vec{b}\)  und  \(\vec{c}\)  linear abhängig oder linear unabhängig sind.