Verfahren zum Lösen linearer Gleichungen (Additionsverfahren)
Überblick zu den Inhalten in diesem Kapitel
Es gibt ein paar unterschiedliche Verfahren, um die Lösungsmenge eines linearen Gleichungssystems zu ermitteln. Diese Verfahren unterscheiden sich zum Beispiel in ihrem Schreibaufwand, ihrem Rechenaufwand oder ihrer Flexibiltät bei der Anwendung.
In diesem Kapitel wird das Additionsverfahren vorgestellt.\(\newcommand{\R}{{\rm I\!R}}\)
\(\begin{array}{rrrrl}\text{I)} & 2x & +3y & -3z & =-1 \\ \text{II)} & x & +y & +2z & =9 \\ \text{III)} & 3x & +5y & -4z & =1 \\ \end{array}\)
\(\Rightarrow\quad L\ =\ ???\)
Das Additionsverfahren
Auch beim Additionsverfahren ist die Grundidee, dass man systematisch
- mithilfe einer der Gleichungen
- in allen anderen Gleichungen eine der Variablen zum Verschwinden bringt,
- um so ein Gleichungssystem mit weniger Gleichungen und weniger Variablen zu erhalten
Beim Additionsverfahren erreicht man das
- durch geeignete Addition bzw. Subtraktion jeweils zweier Gleichungen.
Das Additionsverfahren ist im Allgemeinen kein vollständiges Lösungsverfahren. Das heißt:
- Im Normalfall wird man, sobald die Anzahl der Gleichungen und Variablen nicht weiter reduziert werden kann, zum Einsetzungsverfahren wechseln („Rückwärts-Einsetzen“).
- Nur in speziellen Fällen kann der Anwender allein mithilfe des Additionsverfahrens sogar bis zur Lösungsmenge gelangen.
- Der Mathematiker Carl Friedrich Gauß (1777 – 1855) ergänzte es um 2 zusätzliche einfache Umformungsarten, so dass ein tatsächlich vollständiges Lösungsverfahren entstand (dazu mehr im nächsten Kapitel).
Wie addiert / subtrahiert man 2 Gleichungen?
Wenn ein Gleichungssystem (sehr grob dargestellt) in der Form
\(\begin{array}{rrl} \text{I)} & A & = B \\ \text{II)} & C & = D \end{array}\)
vorliegt, dann liefert
- die Addition beider Gleichungen, kurz \(\text{II}+\text{I}\), die neue Gleichung: \(C + A = D + B\)
- die Subtraktion beider Gleichungen, kurz \(\text{II} -\text{I}\), die neue Gleichung: \(C\ – A = D\ – B\)
Wichtig:
Dadurch wird die Lösungsmenge des Gleichungssystems NICHT VERÄNDERT!
Beispiel:
\(\begin{array}{rrrl} \color{darkorange}{\text{I}}) & \color{darkorange}x & \color{darkorange}{+ y} & = \color{darkorange}2 \\ \color{magenta}{\text{II}}) & \color{magenta}x &\color{magenta}{- y} &= \color{magenta}3 \end{array}\)
- Addition: \(\color{magenta}{\text{II}}+\color{darkorange}{\text{I}}\)
\(\ (\color{magenta}{x\ – y}) + (\color{darkorange}{x + y}) = \color{magenta}3 + \color{darkorange}2\),
also \(2x = 5\) \(\ \Rightarrow\ x = \tfrac{5}{2}\)
- Subtraktion: \(\color{magenta}{\text{II}}\ – \color{darkorange}{\text{I}}\)
\(\ (\color{magenta}{x\ – y})\ – (\color{darkorange}{x + y}) = \color{magenta}3\ – \color{darkorange}{2}\),
also \(-2y = 1\) \(\ \Rightarrow\ y = -\tfrac{1}{2}\)
\(L = \left\{\,\left(\tfrac{5}{2}; -\tfrac{1}{2} \right)\,\right\}\)
In den meisten Fällen ist es erforderlich, die beiden Gleichungen vor dem Addieren bzw. Subtrahieren noch jeweils mit einem konstanten Faktor zu multiplizieren:
\(\begin{array}{rrl} \text{I)} & A & = B \\ \text{II)} & C & = D \end{array}\)
\(\color{red}{k}\cdot \text{II}+\color{blue}{\ell}\cdot\text{I}\) \(\quad\Rightarrow\quad\) \(\color{red}{k}\cdot C + \color{blue}{\ell}\cdot A = \color{red}{k}\cdot D + \color{blue}{\ell}\cdot B\)
\(\color{red}{k}\cdot \text{II} -\color{blue}{\ell}\cdot \text{I}\) \(\quad\Rightarrow\quad\) \(\color{red}{k}\cdot C\ – \color{blue}{\ell}\cdot A = \color{red}{k}\cdot D\ – \color{blue}{\ell}\cdot B\)
Bemerkungen:
- Jetzt bewährt es sich, wenn die Gleichungen strukturiert notiert werden (also gleiche Variablen jeweils untereinander).
- Die Berechnungen der neuen Vorfaktoren müssen nicht aufgeschrieben werden – hier wurden sie nur zur besseren Nachvollziehbarkeit notiert.
Beispiel:
\(\begin{array}{rrrl} \text{I)} & 2x & + 3y & = 6 \\ \text{II)} & 5x & – 2y &= 4 \end{array}\)
- Addition: \(\color{red}{3}\cdot\text{II}\ + \color{blue}{2}\cdot\text{I}\)
\(\color{red}{3}\cdot (5x\ – 2y)\ + \color{blue}{2}\cdot (2x + 3y) = \color{red}{3}\cdot 4 + \color{blue}{2}\cdot 6\),
also \(19x = 24\) \(\ \Rightarrow\ x = \tfrac{24}{19}\)
- Subtraktion: \(\color{red}{2}\cdot\text{II}\ -\ \color{blue}{5}\cdot\text{I}\)
\(\color{red}{2}\cdot {(5x\ – 2y)}\ – \color{blue}{5}\cdot (2x + 3y) = \color{red}{2}\cdot{4}\ -\ \color{blue}{5}\cdot6\),
also \(-19y = -22\) \(\ \Rightarrow\ y = \tfrac{22}{19}\)
\(L = \left\{\,\left(\tfrac{24}{19};\tfrac{22}{19} \right)\,\right\}\)
Interaktiv experimentieren mit dem Additionsverfahren (2 Gleichungen, 2 Variablen)
Im nachfolgenden Geogebra-Applet können Sie dem Computer Anweisungen geben, wie er eine Gleichung zu einer anderen Gleichung addieren bzw. von dieser subtrahieren soll.
Ziel:
Das Gleichungssystem soll soweit umgeformt werden, bis in jeder Zeile nur noch eine einzige Variable steht.
Beispiel 1:
Soll zum 6-fachen von Zeile ii das 4-fache von Zeile i addiert werden?
Geben Sie ein: 6 ii + 4 i (oder 6*ii + 4*i, oder 6 II + 4 I)
Dadurch wird die ii. Gleichung verändert.
Beispiel 2:
Soll vom 2-fachen von Zeile iii das 3-fache von Zeile ii subtrahiert werden?
Geben Sie ein: 2 iii – 3 ii (oder 2*iii – 3*ii, oder 2 III – 3 II)
Dadurch wird die iii. Gleichung verändert.
Beispiel 1: 2 Gleichungen mit 3 Variablen (eine frei wählbar)
Phase I: Anzahl der Gleichungen und Variablen reduzieren
Ziel:
Die \(\text{I.}\) Gleichung soll so geschickt von der \(\text{II.}\) Gleichung subtrahiert werden, dass die Variable \(x\) dadurch in der \(\text{II.}\) Gleichung verschwindet.
Konkretes Beispiel:
\(\begin{array}{rrrrl} \text{I)} & \color{red}{2}x & +2y & +3z & =5 \\ \text{II)} & \color{blue}{5}x & -2y & +z & =-4 \end{array}\)
Damit sich beim Subtrahieren die Terme mit \(x\) gegenseitig aufheben können, muss man dafür sorgen, dass die Vorfaktoren (Koeffizienten) von \(x\) in beiden Gleichungen gleich sind.
Dazu werden in einem ersten Schritt beide Gleichungen mit den Vorfaktoren von \(x\) (hier \(\color{red}{2}\) bzw. \(\color{blue}{5}\)) über Kreuz multpliziert.
Das Überkreuz-Multiplizieren beider Gleichungen mit den Vorfaktoren der zu eliminierenden Variable wird hier nur zum besseren Verständnis vorgeführt – im Normalfall kann es im Kopf (oder vom Taschenrechner) durchgeführt werden.
\(\begin{array}{rrrrl} \color{blue}{5}\cdot \text{I)} & \color{blue}{5}\cdot \color{red}{2}x & +\color{blue}{5}\cdot 2y & +\color{blue}{5}\cdot 3z & =\color{blue}{5}\cdot 5 \\ \color{red}{2}\cdot\text{II)} & \color{red}{2}\cdot\color{blue}{5}x & +\color{red}{2}\cdot(- 2)y & +\color{red}{2}\cdot z & =\color{red}{2}\cdot(-4) \end{array}\)
Nun zieht man von der neuen \(\text{II}.\) Gleichung die neue \(\text{I}.\) Gleichung ab.
Jetzt bewährt sich eine strukturierte Notation des Gleichungssystems, bei der gleiche Variablen jeweils untereinander stehen:
Die jeweils untereinanderstehenden Terme können nun einfach voneinander abgezogen werden.
Kurzschreibweise: \(\color{red}{2}\cdot\text{II}\ – \color{blue}{5}\cdot\text{I}\)
Möglichkeit 1 (sicherer, aber schreibaufwändiger)
Gleichungen zuerst vereinfachen:
\(\begin{array}{rrrrl} \color{blue}{5}\cdot \text{I)} & 10x & +10y & +15z & =25 \\ \color{red}{2}\cdot\text{II)} & 10x & -4y & +2 z & =-8 \end{array}\)
Möglichkeit 2 (deutlich schneller)
Untereinanderstehende Vorfaktoren direkt subtrahieren
(Reihenfolge \(\color{red}{2}\cdot\text{II}\ – \color{blue}{5}\cdot\text{I}\) beachten!):
Neuer Vorfaktor von \(x\): MUSS 0 SEIN!
Neuer Vorfaktor von \(y\): \(\color{red}{2}\cdot (-2)\,{-}\,\color{blue}{5}\cdot 2\)
Neuer Vorfaktor von \(z\): \(\color{red}{2}\cdot 1\,{-}\,\color{blue}{5}\cdot 3\)
Neue Konstante auf der rechte Seite: \(\color{red}{2}\cdot(-4)\,{-}\,\color{blue}{5}\cdot 5\)
Was hat man damit erreicht?
Es liegt nur noch eine einzige Gleichung vor, in der das \(x\) nicht mehr vorkommt.
Neue \(\text{II.}\) Gleichung:
\(\begin{array}{rrrrl} \text{II)} & {} & -14y & – 13z & =-33 \end{array}\)
Phase II: Rückwärts-Einsetzen (aber in Abhängigkeit von einer „frei wählbaren“ Variablen)
Problem:
In dieser Gleichung befinden sich immer noch 2 Variablen!
Interpretation:
Wenn nur eine Gleichung vorliegt, die den Zusammenhang von zwei Variablen beschreibt, dann kann man diese Gleichung nur nach einer einzigen Variable auflösen – es bleibt aber auch eine Variable auf der rechten Seite.
Die eine Variable, nach der man aufgelöst hat, ist also abhängig vom Wert der anderen Variable. Da über diese andere Variable keine Einschränkungen vorliegen, ist sie „frei wählbar„.
Entscheidung:
\(y\) soll vom Wert von \(\color{green}z\) abhängen
(d.h. \(\color{green}z\) ist die frei wählbare Variable).
Deshalb lösen wir Gleichung \(\text{II}\) nach \(y\) auf, um zu sehen, wie \(y\) von \(\color{green}z\) abhängt.
\(\text{II)} \ -14y\,{-}\,13\color{green}z = -33\) \(\ \Rightarrow\ \) \(\color{magenta}{y = \tfrac{33}{14}\,{-}\,\tfrac{13}{14} \color{green}z}\)
Rückwärts-Einsetzen:
Nun wird \(\color{magenta}{\tfrac{33}{14}\,{-}\,\tfrac{13}{14} z}\) für \(\color{magenta}y\) in der \(\text{I.}\) Gleichung eingesetzt:
\(\text{I)} \ 2x + 2\color{magenta}y +3\color{green}z = 5 \)
\(\Rightarrow\ \) \(2x + 2(\color{magenta}{\tfrac{33}{14}\,{-}\,\tfrac{13}{14} \color{green}z}) +3\color{green}z = 5\)
Da \(\color{green}z\) bereits die frei wählbare Variable ist, lösen wir die letzte Gleichung nach \(x\) auf, um zu sehen, wie \(x\) von \(\color{green}z\) abhängt.
Nach ein paar Umformungsschritten erhält man:
\(\Rightarrow\ \) \(\color{orange}{x = \tfrac{1}{7}\,{-}\,\tfrac{4}{7} \color{green}z} \)
Zusammenfassung:
- Zwei der Variablen hängen vom Wert der „frei wählbaren“ Variable ab!
- Es gibt unendlich viele Lösungen.
Lösungsmenge mit unendlich vielen Lösungen:
Da die Werte von \(x\) und \(y\) vom Wert von \(\color{green}z\) abhängen, gibt man für \(x\) und \(y\) die jeweils ermittelten Terme an.
Da der Wert von \(\color{green}z\) frei wählbar ist, kann man man \(\color{green}z\) einfach stehen lassen, und drückt die freie Wählbarkeit von \(\color{green}z\) dadurch aus, dass man in der Lösungsmenge ergänzt: \(\color{green}z\in\R\).
Angabe der Lösungsmenge:
Wir haben gefunden: \(\color{orange}{x = \tfrac{1}{7}\,{-}\,\tfrac{4}{7} \color{green}z} \) und \(\color{magenta}{y = \tfrac{33}{14}\,{-}\,\tfrac{13}{14} \color{green}z}\), wobei \(\color{green}z\in\R\) frei wählbar ist.
Kurz:
\(L = \left\{ \left(\color{orange}{\tfrac{1}{7}\,{-}\,\tfrac{4}{7} \color{green}z}; \color{magenta}{\tfrac{33}{14}\,{-}\,\tfrac{13}{14} \color{green}z}; \color{green}z \right)\ |\ \color{green}z\in\R \right\} \)
Interaktiv experimentieren mit dem Additionsverfahren (zu Beispiel 1)
Im nachfolgenden Geogebra-Applet können Sie dem Computer Anweisungen geben, wie er eine Gleichung zu einer anderen Gleichung addieren bzw. von dieser subtrahieren soll.
Ziel:
Das Gleichungssystem soll soweit umgeformt werden, bis in beiden Gleichungen jeweils nur noch höchstens 2 Variablen stehen.
Beispiel 1:
Soll zum 6-fachen von Zeile ii das 4-fache von Zeile i addiert werden?
Geben Sie ein: 6 ii + 4 i (oder 6*ii + 4*i, oder 6 II + 4 I)
Dadurch wird die ii. Gleichung verändert.
Beispiel 2:
Soll vom 2-fachen von Zeile iii das 3-fache von Zeile ii subtrahiert werden?
Geben Sie ein: 2 iii – 3 ii (oder 2*iii – 3*ii, oder 2 III – 3 II)
Dadurch wird die iii. Gleichung verändert.
Beispiel 2: 2 Gleichungen mit 3 Variablen (2 frei wählbar)
Phase I: Anzahl der Gleichungen und Variablen reduzieren
Das Ziel ist wieder, die \(\text{I.}\) Gleichung so geschickt von der \(\text{II.}\) Gleichung zu subtrahieren, dass die Variable \(x\) in der \(\text{II.}\) Gleichung verschwindet.
Konkretes Beispiel:
\(\begin{array}{rrrrl} \text{I)} & \color{red}{-4}x & +2y & +8z & =-6 \\ \text{II)} & \color{blue}{6}x & -3y & -12z & =9 \end{array}\)
Durch geschicktes Überkreuz-Multiplizieren beider Gleichungen jeweils mit den Vorfaktoren von \(x\) (hier \(\color{red}{-4}\) bzw. \(\color{blue}{6}\)) erreicht man, dass sich beim Subtrahieren die Terme mit \(x\) gegenseitig aufheben können.
Zwischenschritt: (hier nur zum besseren Verständnis vorgeführt; kann im Normalfall im Kopf oder vom Taschenrechner durchgeführt werden)
\(\begin{array}{rrrrl} \color{blue}{6}\!\cdot\!\text{I)} & \color{blue}{6}\!\cdot\!(\color{red}{-4}x) & +\color{blue}{6}\!\cdot\! 2y & +\color{blue}{6}\!\cdot\! 8z & =\color{blue}{6}\!\cdot(-6) \\ \color{red}{-4}\!\cdot\! \text{II)} & \color{red}{(-4)}\!\cdot\! \color{blue}{6}x & +\color{red}{(-4)}\!\cdot\! (-3y) & +\color{red}{(-4)}\!\cdot\! (-12z) & =\color{red}{-4}\!\cdot 9 \end{array}\)
Jetzt bewährt sich eine strukturierte Notation des Gleichungssystems, bei der gleiche Variablen jeweils untereinander stehen:
Die jeweils untereinanderstehenden Terme können nun einfach voneinander abgezogen werden.
Von der neuen \(\text{II}.\) die neue \(\text{I}.\) Gleichung abziehen:
Kurzschreibweise: \(\color{red}{-4}\cdot\text{II}\ – \color{blue}{6}\cdot\text{I}\)
Möglichkeit 1 (sicherer, aber schreibaufwändiger)
Gleichungen zuerst vereinfachen:
\(\begin{array}{rrrrl} \color{blue}{6}\!\cdot\!\text{I)} & {-24}x & +12y & +48z & = -36 \\ \color{red}{-4}\!\cdot\! \text{II)} & -24x & +12y & +48z & = -36 \end{array}\)
Möglichkeit 2 (deutlich schneller)
Untereinanderstehende Vorfaktoren direkt subtrahieren
(Reihenfolge \(\color{red}{-4}\cdot\text{II}\ – \color{blue}{6}\cdot\text{I}\) beachten!):
Neuer Vorfaktor von \(x\): MUSS 0 SEIN!
Neuer Vorfaktor von \(y\): \(\color{red}{-4}\!\cdot\! (-3)\,{-}\,\color{blue}{6}\!\cdot\! 2\)
Neuer Vorfaktor von \(z\): \(\color{red}{-4}\!\cdot\! (-12)\,{-}\,\color{blue}{6}\!\cdot\! 8\)
Neue Konstante auf der rechte Seite: \(\color{red}{-4}\!\cdot\! 9\,{-}\,\color{blue}{6}\!\cdot\! (-6)\)
Was hat man damit erreicht?
Es entsteht die Gleichung \(0 = 0\), die stets wahr ist und die Lösungsmenge nicht weiter einschränkt.
Die einzige Gleichung, die also eine Aussage darüber macht, wie die Variablen \(x\), \(y\) und \(z\) zusammenhängen, ist die \(\text{I.}\) Gleichung.
Neue \(\text{II.}\) Gleichung:
\(\begin{array}{rrrrl} \text{II)} & 0x & +0y & +0z & = 0 \end{array}\)
Sie lässt sich zu der einfachen Gleichung \(0 = 0\) reduzieren, die stets wahr ist und die Lösungsmenge nicht weiter einschränkt.
Phase II: Eine Variable in Abhängigkeit von zwei „frei wählbaren“ Variablen angeben
Problem:
In der einzigen verbleibenden Gleichung befinden sich immer noch 3 Variablen!
Interpretation:
Wenn nur eine Gleichung vorliegt, die den Zusammenhang von drei Variablen beschreibt, dann kann man diese Gleichung nur nach einer einzigen Variable auflösen – es bleiben noch zwei Variablen auf der rechten Seite.
Die eine Variable, nach der man aufgelöst hat, ist also abhängig vom Wert der beiden anderen Variablen. Da über diese beiden anderen Variablen keine Einschränkungen vorliegen, sind sie „frei wählbar„.
Einzige verbliebene Gleichung mit 3 Variablen:
\(\text{I)}\ \ {-4}x +2y +8z =-6\)
Entscheidung:
\(x\) soll vom Wert von \(\color{green}y\) und \(\color{green}z\) abhängen
(d.h. \(\color{green}y\) und \(\color{green}z\) sind die frei wählbaren Variablen).
Deshalb lösen wir Gleichung \(\text{I}\) nach \(x\) auf, um zu sehen, wie \(x\) von \(\color{green}y\) und \(\color{green}z\) abhängt.
\(\text{I)}\ \ {-4}x +2\color{green}y +8\color{green}z =-6\) \(\ \Rightarrow\ \) \(\color{magenta}{x = \tfrac{3}{2}\,{+}\,\tfrac{1}{2} \color{green}y\,{+}\,2\color{green}z}\)
Zusammenfassung:
- Eine Variable hängt vom Wert der beiden „frei wählbaren“ Variablen ab!
- Es gibt unendlich viele Lösungen.
Lösungsmenge mit unendlich vielen Lösungen:
Da der Wert von \(x\) sowohl vom Wert von \(\color{green}y\), als auch vom Wert von \(\color{green}z\) abhängt, gibt man für \(x\) den ermittelten Term an.
Da der Wert von \(\color{green}y\) und der Wert von \(\color{green}z\) frei wählbar sind, kann man \(\color{green}y\) und \(\color{green}z\) einfach stehen lassen, und drückt die freie Wählbarkeit von \(\color{green}y\) und \(\color{green}z\) dadurch aus, dass man in der Lösungsmenge ergänzt: \(\color{green}y, \color{green}z\in\R\).
Angabe der Lösungsmenge:
Wir haben gefunden:
\(\color{magenta}{x = \tfrac{3}{2}\,{+}\,\tfrac{1}{2}\color{green}y\,{+}\,2\color{green}z}\),
wobei \(\color{green}y\in\R\) und \(\color{green}z\in\R\) frei wählbar ist.
Kurz:
\(L = \left\{ \left(\color{magenta}{\tfrac{3}{2}\,{+}\,\tfrac{1}{2} \color{green}y\,{+}\,2\color{green}z};\ \color{green}y;\ \color{green}z \right)\ |\ \color{green}y, \color{green}z\in\R \right\} \)
Interaktiv experimentieren mit dem Additionsverfahren (zu Beispiel 2)
Im nachfolgenden Geogebra-Applet können Sie dem Computer Anweisungen geben, wie er eine Gleichung zu einer anderen Gleichung addieren bzw. von dieser subtrahieren soll.
Ziel:
Das Gleichungssystem soll soweit umgeformt werden, bis in beiden Gleichungen jeweils nur noch höchstens 2 Variablen stehen.
Beispiel 1:
Soll zum 6-fachen von Zeile ii das 4-fache von Zeile i addiert werden?
Geben Sie ein: 6 ii + 4 i (oder 6*ii + 4*i, oder 6 II + 4 I)
Dadurch wird die ii. Gleichung verändert.
Beispiel 2:
Soll vom 2-fachen von Zeile iii das 3-fache von Zeile ii subtrahiert werden?
Geben Sie ein: 2 iii – 3 ii (oder 2*iii – 3*ii, oder 2 III – 3 II)
Dadurch wird die iii. Gleichung verändert.
Beispiel 3: 2 Gleichungen mit 3 Variablen (leere Lösungsmenge)
Phase I: Anzahl der Gleichungen und Variablen reduzieren
Das Ziel ist wieder, die \(\text{I.}\) Gleichung so geschickt von der \(\text{II.}\) Gleichung zu subtrahieren, dass die Variable \(x\) in der \(\text{II.}\) Gleichung verschwindet.
Konkretes Beispiel:
\(\begin{array}{rrrrl} \text{I)} & \color{red}{4}x & -10y & +2z & =-26 \\ \text{II)} & \color{blue}{-6}x & +15y & -3z & =-33 \end{array}\)
Durch geschicktes Überkreuz-Multiplizieren beider Gleichungen jeweils mit den Vorfaktoren von \(x\) (hier \(\color{red}{4}\) bzw. \(\color{blue}{-6}\)) erreicht man, dass sich beim Subtrahieren die Terme mit \(x\) gegenseitig aufheben können.
Zwischenschritt: (hier nur zum besseren Verständnis vorgeführt; kann im Normalfall im Kopf oder vom Taschenrechner durchgeführt werden)
\(\begin{array}{rrrrl} \color{blue}{-6}\!\cdot\!\text{I)} & \color{blue}{-6}\!\cdot\!\color{red}{4}x & -(\color{blue}{-6})\!\cdot\! 10y & \color{blue}{-6}\!\cdot\! 2z & =\color{blue}{-6}\!\cdot\!(-26) \\ \color{red}{4}\!\cdot\! \text{II)} & \color{red}{4}\!\cdot\!(\color{blue}{-6}x) & +\color{red}{4}\!\cdot\! 15y & +\color{red}{4}\!\cdot\! (-3z) & =\color{red}{4}\!\cdot (-33) \end{array}\)
Jetzt bewährt sich eine strukturierte Notation des Gleichungssystems, bei der gleiche Variablen jeweils untereinander stehen:
Die jeweils untereinanderstehenden Terme können nun einfach voneinander abgezogen werden.
Von der neuen \(\text{II}.\) die neue \(\text{I}.\) Gleichung abziehen:
Kurzschreibweise: \(\color{red}{4}\cdot\text{II}\ – (\color{blue}{-6})\cdot\text{I}\)
Möglichkeit 1 (sicherer, aber schreibaufwändiger)
Gleichungen zuerst vereinfachen:
\(\begin{array}{rrrrl} \color{blue}{-6}\!\cdot\!\text{I)} & {-24}x & +60y & -12z & = 156 \\ \color{red}{4}\!\cdot\! \text{II)} & -24x & +60y & -12z & = -132 \end{array}\)
Möglichkeit 2 (deutlich schneller)
Untereinanderstehende Vorfaktoren direkt subtrahieren
(Reihenfolge \(\color{red}{4}\cdot\text{II}\ – (\color{blue}{-6})\cdot\text{I}\) beachten!):
Neuer Vorfaktor von \(x\): MUSS 0 SEIN!
Neuer Vorfaktor von \(y\): \(\color{red}{4}\!\cdot\!15\,{-}\,\color{blue}{(-6)}\!\cdot\! (-10)\)
Neuer Vorfaktor von \(z\): \(\color{red}{4}\!\cdot\! (-3)\,{-}\,\color{blue}{(-6)}\!\cdot\!2\)
Neue Konstante auf der rechte Seite: \(\color{red}{4}\!\cdot\! (-33)\,{-}\,\color{blue}{(-6)}\!\cdot\! (-26)\)
Was hat man damit erreicht?
Es entsteht die Gleichung \(0 = -288\), die offensichtlich falsch ist. Es keine Werte für \(x\), \(y\) oder \(z\), die daran irgend etwas ändern könnten.
Folglich ist die Lösungsmenge die leere Menge.
Neue \(\text{II.}\) Gleichung:
\(\begin{array}{rrrrl} \text{II)} & 0x & +0y & +0z & = -288 \end{array}\)
\(\Rightarrow\ \ 0 = -288\) (falsche Aussage)
\(\Rightarrow\ \ L = \{\ \}\)
Interaktiv experimentieren mit dem Additionsverfahren (zu Beispiel 3)
Im nachfolgenden Geogebra-Applet können Sie dem Computer Anweisungen geben, wie er eine Gleichung zu einer anderen Gleichung addieren bzw. von dieser subtrahieren soll.
Ziel:
Das Gleichungssystem soll soweit umgeformt werden, bis in beiden Gleichungen jeweils nur noch höchstens 2 Variablen stehen.
Beispiel 1:
Soll zum 6-fachen von Zeile ii das 4-fache von Zeile i addiert werden?
Geben Sie ein: 6 ii + 4 i (oder 6*ii + 4*i, oder 6 II + 4 I)
Dadurch wird die ii. Gleichung verändert.
Beispiel 2:
Soll vom 2-fachen von Zeile iii das 3-fache von Zeile ii subtrahiert werden?
Geben Sie ein: 2 iii – 3 ii (oder 2*iii – 3*ii, oder 2 III – 3 II)
Dadurch wird die iii. Gleichung verändert.
Trick zur schnellen Berechnung der Vorfaktoren und des Terms auf der rechten Seite
Es lohnt sich, das vorherige Beispiel 1 nocheinmal in allgemeiner Form nachzuverfolgen (also mit Buchstaben anstatt Zahlen als Vorfaktoren), denn es wird sich zeigen, dass ein einfaches Merk-Schema hinter der Berechnung der Vorfaktoren steckt.
Allgemeines Beispiel:
\(\begin{array}{rrrrl} \text{I)} & \color{red}{a}\cdot x & +b\cdot y & +c\cdot z & =d \\ \text{II)} & \color{blue}{e}\cdot x & +f\cdot y & +g\cdot z & = h \end{array}\)
Konkretes Beispiel:
\(\begin{array}{rrrrl} \text{I)} & \color{red}{2}x & +2y & +3z & =5 \\ \text{II)} & \color{blue}{5}x & -2y & +z & =-4 \end{array}\)
Damit das \(x\) später verschwinden kann, werden in einem ersten Schritt beide Gleichungen mit den Vorfaktoren von \(x\) (hier \(\color{red}{a}\) bzw. \(\color{blue}{e}\)) über Kreuz multpliziert.
\(\begin{array}{rrrrl} \color{blue}{e}\cdot\text{I)} & \color{blue}{e}\cdot \color{red}{a}\cdot x & +\color{blue}{e}\cdot b\cdot y & +\color{blue}{e}\cdot c\cdot z & =\color{blue}{e}\cdot d \\ \color{red}{a}\cdot\text{II)} & \color{red}{a}\cdot \color{blue}{e}\cdot x & +\color{red}{a}\cdot f\cdot y & +\color{red}{a}\cdot g\cdot z & = \color{red}{a}\cdot h \end{array}\)
Das Überkeuz-Multiplizieren beider Gleichungen mit den Vorfaktoren der zu eliminierenden Variable wird hier nur zum besseren Verständnis vorgeführt – im Normalfall wird er NICHT notiert:
\(\begin{array}{rrrrl} \color{blue}{5}\cdot \text{I)} & \color{blue}{5}\cdot \color{red}{2}x & +\color{blue}{5}\cdot 2y & +\color{blue}{5}\cdot 3z & =\color{blue}{5}\cdot 5 \\ \color{red}{2}\cdot\text{II)} & \color{red}{2}\cdot\color{blue}{5}x & +\color{red}{2}\cdot(- 2)y & +\color{red}{2}\cdot z & =\color{red}{2}\cdot(-4) \end{array}\)
Nun zieht man von der neuen \(\text{II}.\) Gleichung die neue \(\text{I}.\) Gleichung ab, kurz \(\color{red}{a}\cdot\text{II}\ – \color{blue}{e}\cdot\text{I}\):
\( (\color{red}{a}\cdot f\ – \color{blue}{e}\cdot b)\cdot y + (\color{red}{a}\cdot g\ – \color{blue}{e}\cdot c)\cdot z = \color{red}{a}\cdot h\ – \color{blue}{e}\cdot d\)
Somit erreicht man schließlich das gewünscht Ziel, nämlich eine Gleichung ohne die Variable \(x\).
Nun zieht man von der neuen \(\text{II}.\) Gleichung die neue \(\text{I}.\) Gleichung ab, kurz \(\color{red}{2}\cdot\text{II}\ – \color{blue}{5}\cdot\text{I}\):
\((\color{red}{2}\cdot (-2) – \color{blue}{5}\cdot 2)\cdot y + (\color{red}{2}\cdot 1 – \color{blue}{5}\cdot 3)\cdot z =\color{red}{2}\cdot(-4) – \color{blue}{5}\cdot 5\)
Das Ziel ist erreicht, denn man erhält eine Gleichung ohne die Variable \(x\):
\(\begin{array}{rrrrl} \phantom{\text{II}} & \phantom{x} & – 14y & – 13z & = -33 \end{array}\)
Untersuchung der Vorfaktoren und des Terms auf der rechten Seite
Wenn beide Gleichungen mit den Vorfaktoren von \(x\) (hier \(\color{red}{a}\) bzw. \(\color{blue}{e}\)) über Kreuz multpliziert wurden, so erhält man für die neuen Vorfaktoren die Terme:
- \(\color{red}{a}\cdot f\ – \color{blue}{e}\cdot b\) (Vorfaktor von \(y\))
- \(\color{red}{a}\cdot g\ – \color{blue}{e}\cdot c\) (Vorfaktor von \(z\))
- \(\color{red}{a}\cdot h\ – \color{blue}{e}\cdot d\) (konstanter Term auf der rechten Seite)
Dahinter steckt jeweils ein einfaches Merk-Schema:
Für den Vorfaktor von \(y\)
\(\color{red}{a}\cdot \color{magenta}{f}\ – \color{blue}{e}\cdot\color{magenta}{b}\)
… findet man die Bestandteile \(\color{red}{a}\), \(\color{blue}{e}\), \(\color{magenta}{b}\) und \(\color{magenta}{f}\) hier:
\(\begin{array}{rrrrl} \text{I)} & \color{red}{a}\cdot x & +\color{magenta}{b}\cdot y & +c\cdot z & =d \\ \text{II)} & \color{blue}{e}\cdot x & +\color{magenta}{f}\cdot y & +g\cdot z & = h \end{array}\)
Schema für \(\color{red}{a}\cdot \color{magenta}{f}\ – \color{blue}{e}\cdot\color{magenta}{b}\) :
\(\begin{array}{c} \color{red}{a} \\ \color{blue}{e} \end{array} {\LARGE\times} \begin{array}{c} \color{magenta}{b} \\ \color{magenta}{f}\end{array}\)
Für den Vorfaktor von \(z\)
\(\color{red}{a}\cdot \color{magenta}{g}\ – \color{blue}{e}\cdot\color{magenta}{c}\)
… findet man die Bestandteile \(\color{red}{a}\), \(\color{blue}{e}\), \(\color{magenta}{c}\) und \(\color{magenta}{g}\) hier:
\(\begin{array}{rrrrl} \text{I)} & \color{red}{a}\cdot x & +b\cdot y & +\color{magenta}{c}\cdot z & =d \\ \text{II)} & \color{blue}{e}\cdot x & +f\cdot y & +\color{magenta}{g}\cdot z & = h \end{array}\)
Schema für \(\color{red}{a}\cdot \color{magenta}{g}\ – \color{blue}{e}\cdot\color{magenta}{c}\) :
\(\begin{array}{c} \color{red}{a} \\ \color{blue}{e} \end{array} {\LARGE\times} \begin{array}{c} \color{magenta}{c} \\ \color{magenta}{g}\end{array}\)
Für den Term auf der rechten Seite
\(\color{red}{a}\cdot\color{magenta}{h}\ – \color{blue}{e}\cdot{d}\)
… findet man die Bestandteile \(\color{red}{a}\), \(\color{blue}{e}\), \(\color{magenta}{d}\) und \(\color{magenta}{h}\) hier:
\(\begin{array}{rrrrl} \text{I)} & \color{red}{a}\cdot x & +b\cdot y & +c\cdot z & =\color{magenta}{d} \\ \text{II)} & \color{blue}{e}\cdot x & +f\cdot y & +g\cdot z & = \color{magenta}{h} \end{array}\)
Schema für \(\color{red}{a}\cdot\color{magenta}{h}\ – \color{blue}{e}\cdot\color{magenta}{d}\) :
\(\begin{array}{c} \color{red}{a} \\ \color{blue}{e} \end{array} {\LARGE\times} \begin{array}{c} \color{magenta}{d} \\ \color{magenta}{h}\end{array}\)
Beispiel 4 (3 Gleichungen mit 3 Variablen)
Gesucht ist die Lösungsmenge des nebenstehenden Gleichungssystems über der Grundmenge \(\R^3\).
\(\begin{array}{rrrrl}\text{I)} & \color{red}{2}x & +2y & +3z & =5 \\ \text{II)} & \color{blue}{5}x & -2y & +z & =- 4 \\ \text{III)} & \color{green}{3}x & +4y & -2z & = -5 \\ \end{array}\)
Phase 1: Anzahl der Gleichungen und Variablen verringern
Schritt 1
Die \(\text{I.}\) Gleichung wird verwendet, um mithilfe des Additionsverfahrens die Variable \(x\) in der \(\text{II.}\) und \(\text{III.}\) Gleichung verschwinden zu lassen:
• in der \(\text{II.}\) Gleichung mit \(\color{red}{2}\cdot\text{II}\ – \color{blue}{5}\cdot\text{I}\)
• in der \(\text{III.}\) Gleichung mit \(\color{red}{2}\cdot\text{III}\ – \color{green}{3}\cdot\text{I}\)
Auf diese Weise erhält man ein verkleinertes Gleichungssystem mit nur noch 2 Gleichungen und 2 Variablen.
Die erste Gleichung steht vorerst nicht mehr zur Verfügung.
\(\begin{array}{rrrrl} \color{lightgray}{\text{I)}} & \color{lightgray}{2x} & \color{lightgray}{+2y} & \color{lightgray}{+3z} & \color{lightgray}{=5} \\ \text{II)} & & -14y & -13z & =-33 \\ \text{III)} & & 2y & -13z & = -25 \\ \end{array}\)
Schritt 2
Nun wird die neue \(\text{II.}\) Gleichung verwendet, um mithilfe des Additionsverfahrens eine weitere Variable in der neuen \(\text{III.}\) Gleichung verschwinden zu lassen.
\(\begin{array}{rrrrl} \color{lightgray}{\text{I)}} & \color{lightgray}{2x} & \color{lightgray}{+2y} & \color{lightgray}{+3z} & \color{lightgray}{=5} \\ \text{II)} & & \color{red}{-14y} & -13z & =-33 \\ \text{III)} & & \color{blue}{2y} & -13z & = -25 \\ \end{array}\)
Vorschlag 1:
Man kann stur beim Schema bleiben und lässt die Variable \(y\) verschwinden:
• in der \(\text{III.}\) Gleichung mit \(\color{red}{-14}\cdot\text{III}\ – \color{blue}{2}\cdot\text{II}\)
Man erhält \(208 z = 416\) und somit \(z = 2\).
Vorschlag 2:
Wenn man erkennt, dass in beiden Gleichungen die gleichen Vorfaktoren bei \(z\) stehen, kann man genauso gut \(z\) verschwinden lassen, indem man einfach die \(\text{II.}\) Gleichung von der \(\text{III.}\) Gleichung abzieht.
\(\text{III}\ – \text{II}\) liefert:
\((2\ -\ (-14))\!\cdot\!y = -25\ -\ (-33)\)
\(\Rightarrow\quad 16y = 8\)
\(\Rightarrow\quad y = \tfrac{1}{2}\)
Phase 2: Lösungen der einzelnen Variablen ermitteln durch “Rückwärts-Einsetzen”
Es ist zwar möglich, nun mit dem Additionsverfahren weiter zu arbeiten, um die reduzierten Gleichungen so geschickt zu den vorherigen Gleichungen zu addieren, dass weitere Variablen aus den vorherigen Gleichungen verschwinden, aber diese Vorgehensweise ist unnötig schreibaufwändig.
Zeitsparender ist es, nun ähnlich wie beim Substitutionsverfahren in Phase 2 vorzugehen:
Man hangelt sich rückwärts durch die vorherigen Schritte und sucht Gleichungen, in denen nicht alle Variablen vorkommen, um damit Werte der anderen Variablen zu berechnen.
Unterschied zum Substitutionsverfahren:
Während beim Substitutionsverfahren in Phase 2 die sog. Einsetzungsgleichungen bereits nach den gewünschten Variablen aufgelöst sind, ist das beim Additionsverfahren in Phase 2 im Allgemeinen noch nicht der Fall.
Man findet die „neue Gleichung \(\text{III}\) aus Schritt 1″:
\(2 y\ -\ 13 z = -25\)
Hier nutzt man die zuletzt gefundene Lösung \(\color{limegreen}{z = 2}\) :
\(2 y\ -\ 13\cdot \color{limegreen}2 = -25\ \ \Rightarrow\ \ \color{darkorange}{y = \tfrac{1}{2}}\)
\(\ \)
Außerdem findet man z.B. Gleichung \(\text{I}\) aus Schritt 1“:
\(2x + 2y + 3z = 5\)
Hier setzt man \(\color{darkorange}{y = \tfrac{1}{2}}\) und \(\color{limegreen}{z = 2}\) ein:
\(2x + 2\cdot \color{darkorange}{\tfrac{1}{2}} + 3\cdot\color{limegreen}2 = 5\ \ \Rightarrow\ \ x = -1\)
\(L=\left\{\left(-1; \color{darkorange}{\tfrac{1}{2}}; \color{limegreen}2\right)\right\}\)
Interaktiv experimentieren mit dem Additionsverfahren (zu Beispiel 4)
Ziel:
Im folgenden Geogebra-Applet soll ein Gleichungssystem mithilfe des Additionsverfahrens so umgeformt werden, dass die Anzahl der Variablen von Zeile zu Zeile abnimmt.
Anschließend können Sie die Werte der Variablen durch „Rückwärts-Einsetzen“ ermitteln.
Versuchen Sie diesmal,
- die einzelnen Vorfaktoren und die Konstante (z.B. mithilfe des Merk-Schemas) im Kopf zu berechen
- und diese dann direkt einzugeben (siehe nebenstehende Erläuterung).
Mögliche Rückmeldungen:
- Wenn diese Werte zu einer geeigneten Umformung passen, werden die Werte für die entsprechende Gleichung übernommen und die erkannte Umformung wird angegeben.
- Falls Sie sich verrechnet haben, erhalten Sie eine entsprechende Rückmeldung.
Beispiel:
\(\begin{array}{rrrrl}\text{i)} & \color{red}{2}x & +2y & +3z & =5 \\ \text{ii)} & \color{blue}{5}x & -2y & +z & =- 4 \end{array}\)
Das Merk-Schema orientiert sich „stur“ an den Vorfaktoren der zu eliminierenden Variable (hier \(x\)). In diesem Beispiel wird also vom 2-fachen von Zeile ii das 5-fache von Zeile i subtrahiert.
Mithilfe des Merk-Schemas kann man die dabei entstehenden Werte für die neue ii. Zeile schnell berechnen:
\(\color{red}2\cdot(-2){-}\color{blue}5\cdot 2,\quad \color{red}2\cdot 1{-}\color{blue}5\cdot 3,\quad \color{red}2 \cdot(-4){-}\color{blue}5\cdot5\)
Zusammengefasst: \(-14,\ -13,\ -33\)
Geben Sie in die Eingabezeile ein: ii) -14, -13, -33
Wichtig:
Denken Sie daran, jeweils am Anfang der Eingabe die Nummer der Zeile (gefolgt von einer Klammer) anzugeben, die Sie verändern wollen!
Alternative:
Wenn Sie nicht auf die richtigen Zahlen kommen, geben Sie ein:
2 ii – 5 i (oder 2*ii – 5*i, oder 2 II – 5 I)