Aufgaben zu Zufallsexperimenten und Baumdiagrammen

Aufgaben

Aufgabe 1:

Ein sechsseitiger Würfel wird einmal geworfen. Entscheiden Sie begründet welche der folgenden Ergebnisräume zulässig sind:

  1. \(\Omega=\{1;2;3;4;5;6\}\)
  2. \(\Omega=\{\text{gerade Zahl von 1 bis 6};\text{ungerade Zahl von 1 bis 6}\}\)
  3. \(\Omega=\{\text{Zahl kleiner 6};6\}\)
  4. \(\Omega=\{\text{Zahl von 1 bis 4};\text{Zahl von 4 bis 6}\}\)

Aufgabe 2:

Zwei Personen spielen Tennis gegeneinander. Das Spiel endet, sobald eine Person zwei Sätze gewonnen hat. Fertigen Sie ein Baumdiagramm an und geben Sie den zugehörigen Ergebnisraum an. Verwenden Sie z.B. \(A\) für „Person A gewinnt den Satz“ und \(B\) für „Person B gewinnt den Satz“.

Aufgabe 3:

Eine Münze wird solange geworfen, bis zum ersten Mal „Zahl“ erscheint, höchstens jedoch drei Mal. Geben Sie einen geeigneten Ergebnisraum an.

Aufgabe 4:

Eine Urne enthält zwei rote \((r)\) und vier blaue \((b)\) Kugeln. Es werden drei Kugeln herausgegriffen, nämlich:

  1. nacheinander ohne Zurücklegen.
  2. nacheinander mit Zurücklegen.
  3. gleichzeitig.

Fertigen Sie jeweils ein passendes Baumdiagramm an und bestimmen Sie mit dessen Hilfe den Ergebnisraum.

Aufgabe 5:

Der Ergebnisraum eines Zufallsexperiments ist \(\Omega=\{(r,r);(r,b);(r,g);(b,r);(b,g);(g,r);(g,b)\}\). Geben Sie ein mögliches Urnenmodell zu diesem Ergebnisraum an.

a. – c. sind zulässige Ergebnisräume, da jeder Ausgang des Zufallsexperiments genau einem Element von \(\Omega\) zugeordnet werden kann.

d. ist kein zulässiger Ergebnisraum, da das Würfelergebnis \(4\) in beiden Elementen von \(\Omega\) enthalten ist.

\(\Omega=\{(A,A);(A,B,A);(A,B,B);(B,A,A);(B,A,B);(B,B)\}\)

\(\Omega=\{(Z);(W,Z);(W,W,Z);(W,W,W)\}\)

\(\Omega=\{(r,r,b);(r,b,r);(r,b,b);(b,r,r);(b,r,b);(b,b,r);(b,b,b)\}\)

\(\Omega=\{(r,r,r);(r,r,b);(r,b,r);(r,b,b);(b,r,r);(b,r,b);(b,b,r);(b,b,b)\}\)

Der Baum sieht identisch zu dem aus Aufgabe 4a aus, denn da alle drei Kugeln auf einmal gezogen werden, können nicht drei rote Kugeln gezogen werden. Der Unterschied ergibt sich im Ergebnisraum. Da die drei Kugeln gleichzeitig gezogen werden, ist nicht unterscheidbar welche Reihenfolge den drei Kugeln zugeordnet wird. Folglich können im Ergebnisraum keine Tupel stehen und es ergibt sich:

\(\Omega=\{rrb,rbb,bbb\}\)

Es sind mehrere Lösungen möglich. Ein Beispiel wäre:

In einer Urne befinden sich zwei rote, eine blaue und eine grüne Kugel. Es werden zwei Kugeln nacheinander ohne Zurücklegen gezogen.

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