Der Synchronsatellit
Anwendungsbezogener Hintergrund
Betrachtet man die Ausrichtung der Satellitenschüsseln an einigen Wohnsiedlungen, so wird wird man feststellen, dass diese alle in die selbe Richtung zeigen. In unseren Breitengraden ist stets eine Ausrichtung nach Süden wahrzunehmen. Neben der Tatsache, dass ein Fernsehsatellit sich stets südlich unserer Position befindet, wird man beim Ausrichten der Satellitenschüssel früher oder später auf die Position 19,2° Ost aufmerksam gemacht. Hier befindet sich nämlich der für viele interessante Satellit Astra 1 A-H. Aber was bedeutet das für die Position des Synchronsatelliten? Damit dieser immer direkten „Blickkontakt“ zur Satellitenschüssel hat, darf er sich relativ zu dieser nicht bewegen. Er muss sich also immer über dem selben Punkt von der Erde aus gesehen befinden. Dieser liegt von uns gesehen aus stets südlich (genauer: über dem Äquator) und im Falle des Astra Satelliten auf der Position 19,2° östlicher Breite (also östlich des Nullmeridians, der durch Greenwich verläuft). Wie dies möglich ist, zumal ein Satellit ja ständig um die Erde kreist, wird im Folgenden beschrieben.
Der Synchronsatellit
In einem ganz bestimmten Bahnradius beträgt die Umlaufdauer eines Satelliten 24 Stunden (23h 56min 4,091s). Befindet sich der Satellit außerdem in der gleichen Ebene wie der Äquator und besitzen Satellit und Erde die gleiche Rotationsrichtung, dann erscheint der Satellit von der Erde aus gesehen immer am gleichen Punkt. Er ist dann rund um die Uhr zu empfangen und die Parabolantenne für den Empfang muss nicht nachgeführt werden. Diese Vorzüge der sogenannten Geostationären Bahn haben dazu geführt, dass sich dort mittlerweile sehr viele Kommunikationssatelliten, beispielsweise für Fernsehübertragungen, aufhalten.
Entfernung der Geostationären Bahn
Bei jedem Satellit, welcher sich antriebslos auf einer Kreisbahn um die Erde bewegt, wirkt die Gravitationskraft (zwischen Erde und Satellit) als Zentralkraft:
\( \vec{F}_{Grav} = \vec{F}_{Z} \)
bzw. betragsmäßig: \( F_{Grav}= F_{Z} \) also:
\( m \cdot \omega^{2} \cdot r = G \cdot \frac{m \cdot M}{r^{2}} \)
\( (\frac{2 \pi}{T})^{2}= G \cdot \frac{ M}{r^{3}} \)
\( \frac{4\pi^{2}}{T^{2}}= G \cdot \frac{ M}{r^{3}} \)
Mit der Erdmasse \( M=5,97 \cdot 10^{24} \mathrm{kg} \) folgt für den Bahnradius des Synchronsatelliten:
\( r=\sqrt[3]{\frac{G \cdot M \cdot T^{2}}{4\pi^{2}}} = \sqrt[3]{\frac{6,67 \cdot 10^{-11} \mathrm{\frac{m^{3}}{kg \cdot s^{2}} \cdot 5,97 \cdot 10^{24} \mathrm{kg} \cdot (24 \cdot 60\cdot 60 \mathrm{s})^{2} } }{4\pi^{2}}} = 42,2 \cdot 10^{3} \mathrm{km} \)
Will man nun die tatsächliche Höhe der Bahn des Synchronsatelliten oberhalb der Erde wissen, so muss man noch den Erdradius \( r_{E}= 6,39 \cdot 10^{3} \mathrm{km} \) abziehen:
\( h=r-r_{E}= 42,2 \cdot 10^{3} \mathrm{km} – 6,39 \cdot 10^{3} \mathrm{km}=35,8 \cdot 10^{3} \mathrm{km} \)