Überlagerung zweier Wellen: Aufgaben

Aufgaben I

Aufgaben:

1 Erläutern Sie, was man physikalisch unter Interferenz, Beugung und dem Huygenschen Prinzip versteht.

2 In einer Wellenwanne werden durch zwei punktförmige, sinusförmig und gleichphasig schwingende Erreger E1 und E2 Wasserwellen erzeugt. Die Erregerfrequenz kann stufenlos variiert werden. Der Betrag der Ausbreitungsgeschwindigkeit ist konstant und von Störeinflüssen und Dämpfung wird abgesehen.

2.1 Erklären Sie, wie Maxima der Schwingungsamplitude entstehen und begründen Sie, dass sich im Wellenfeld immer mindestens ein Maximum ausbildet.

2.2 In einem Punkt P des Wellenfeldes (s. Skizze) haben die ankommenden Wellen eine Phasendifferenz Δφ. Geben Sie diese Phasendifferenz in Abhängigkeit der Weglängen s1 und s2 und der Wellenlänge λ an.

2.3 Es gelten nun folgende Werte: b = 10 cm, s1 = 12 cm, s2 = 19 cm, c = 0,15 m/s. Die Frequenz f der Erreger wird in einem Bereich von 1,0 Hz und 6,0 Hz variiert.

2.3.1 Ermitteln Sie, wie viel Maxima- und Minimalinien im Wellenfeld bei einer Erregerfrequenz von f = 4,0 Hz zu beobachten sind.

2.3.2 Bestimmen Sie durch Rechnung diejenigen Frequenzen des Frequenzbereichs, für die in P ein Maximum auftritt.

2.3.3 Die Amplitude der Erreger beträgt A = 3,0 mm. Ermitteln Sie die Gesamtamplitude Ages in P, wenn die Erregerfrequenz 1,5 Hz beträgt.

Lösungen

Unter Interferenz versteht man die Überlagerung von Wellen. Beugung (Streuung) tritt auf, wenn eine Welle auf ein Hindernis trifft, das Wellenbild verändert sich dann. Das Huygensche Prinzip macht die Aussage, dass jeder Punkt einer Wellenfront als Einzelerreger gesehen werden kann.

Jedes Wasserteilchen wird von zwei Schwingungen (Wellen) erfasst, der vom Erreger E1 und der vom Erreger E2. Die beiden von den Erregern ausgehenden Wellen legen zu dem Ort P, an dem sich ein Wasserteilchen befindet, die Wege s1 und s2 zurück. Ist die Wegdifferenz Δs = s2 – s1 = 0 oder ein ganzzahliges Vielfaches der Wellenlänge λ, treffen bei P gleichzeitig Wellenberge und -täler ein, die resultierende Amplitude ist dann maximal und man spricht von einem Maximum in P.
Es muss immer mindestens ein Maximum vorhanden sein, da die Wegdifferenz Δs auf der Mittelsenkrechten zwischen den gleichphasig schwingenden Erregern E1 und E2 immer Null ist, auf der Mittelsenkrechten befindet sich also stets ein Maximum.

Die Phasendifferenz Δφ zwischen den ankommenden Sinuswellen lässt sich aus der Wegdifferenz Δs und der Wellenlänge λ berechnen: Δφ = (Δs/λ)·2π. Mit Δs = s2 – s1 ergibt sich: Δφ = ((s2 – s1)/λ)·2π bzw. Δφ = ((s2 – s1)/λ)·360°.

Mit c = f·λ folgt:
λ = c/f = (15 cm/s)/(4,0 1/s) = 3,75 cm
k = Δsmax/λ = b/λ = (10 cm)/(3,75 cm) = 2,7
dauraus folgt: Maximalinien: (1+2+2) = 5   Minimalinien: (2+2+2) = 6

Mit c = f·λ bzw. λ = c/f folgt:
Δφ = (f·(s2 – s1)/c)·2π
Nur für  Δφ = 0 oder ganzzahlige Vielfache von 2π entsteht ein Maximum: Δφ = k·2π mit k = 0; 1; 2;…
daraus folgt: k = f·(s2 – s1)/c bzw. f = k·(c/(s2 – s1)) = k·(15 cm/s/(19 cm – 12 cm)) = k·2,14 Hz
Im gegebenen Frequenzbereich treten nur für k = 1 und k = 2 Maxima auf:
f1 = 2,1 Hz und f2 = 4,3 Hz

Mit c = f·λ folgt:
λ = c/f = (15 cm/s)/(1,5 1/s) = 10,0 cm
Ages =  2·A·cos(Δs/λ·π) = 2·3,0 mm·cos((19 cm – 12 cm)/(10 cm)·π) = -3,5 mm
Da Amplituden positiv angegeben werden: Ages = 3,5 mm

Aufgaben II

Aufgaben:

3 In der unten abgebildeten Skizze sind L1 und L2 Lautsprecher, die gleichphasig sinusförmige Töne aussenden (c = 340 m/s). M ist ein Mikrofon, das in der skizzierten Lage (a = 2,20 m; b = 1,80 m) das Intensitätsmaximum 1. Ordnung registriert.

3.1 Ermitteln Sie die Lautsprecherfrequenz.

3.2 Berechnen Sie den Frequenzbereich der Lautsprecher, in dem sich 12 Linien minimaler Bewegung ergeben.

3.3 Das Mikrofon wird auf der Gerade L1M verschoben. Geben Sie eine allgemeine Gleichung an, mit der die Abstände a der Orte berechnet werden können, an denen ein Maximum der Intensität gemessen wird.

4 Die beiden gekoppelten Stifte E1 und E2 einer Wellenwanne haben einen Abstand von b = 4,0 cm. Sie erzeugen Wasserwellen der Wellenlänge λ = 2,00 cm. Konstruieren Sie die Kurven der sich ausbildenden Maxima und Minima nach der folgenden Anleitung:

– Zeichnen Sie jeweils…
a) zwei Punkte (E1 und E2) im Abstand b mittig auf Blatt.
b) durchgezogene Kreise um die Punkte E1 und E2 mit den Radien λ; 2·λ; 3·λ;.…
c) gestrichelte Kreise um die Punkte E1 und E2 mit den Radien 0,5·λ; 1,5·λ; 2,5·λ;.…
d) Markierungen an den Stellen, an denen sich gleichartige Kreise schneiden.
e) Maxima-Linien (grün) durch die in d) gemachten Markierungen.
f) Markierungen an den Stellen, an denen sich nicht gleichartige Kreise schneiden.
g) Minimal-Linien (rot) durch die in f) gemachten Markierungen.
h) Beschriftung der Linien mit Art und Ordnung der Maxima/Minima.

Lösungen

Δs = (a² + b²)0,5 – a = 2,843 m – 2,20 m = 0,6425 m = 1·λ (da Maximum 1. Ordnung)
Mit c = f·λ folgt:
f = c/λ = (340 m/s)/(0,6425 m) = 529 Hz = 0,53 kHz

Die beiden Minima-Linien mit der Ordnung 6 findet man, wenn b ≥ 5,5·λ. Ab b = 6,5·λ würden die beiden Minima-Linien der Ordnung 7 erscheinen. Sollen genau 12 Minima-Linien zu sehen sein, muss gelten:
b ≥ 5,5·λ und b < 6,5·λ Umgestellt ergibt sich: λ ≤ b/5,5 und λ > b/6,5
Eingesetzt:
λ ≤ 32,7 cm (b/5,5 = 1,80 m/5,5) und λ > 27,7 cm (b/6,5 = 1,80 m/6,5 = 27,7 cm)
Mit f = c/λ folgt:
f ≥ 1,04 kHz und f < 1,23 kHz bzw. 1,04 kHz ≤ f < 1,23 kHz

Der Gangunterschied Δs berechnet sich allgemein zu:
Δs = (a² + b²)0,5 – a
Maxima entstehen, wenn Δs = k·λ und k = 0; 1; 2; …:
k·λ = (a² + b²)0,5 – a
Diese Gleichung muss nach a umgestellt werden:
(k·λ + a)² = a² + b²
(k·λ)² + 2·k·λ·a + a² = a² + b²
2·k·λ·a = b² – (k·λ)²
a = (b² – (k·λ)²)/(2·k·λ)
(Kontrolle für k = 1 wie in 3.1: a = ((1,80 m)² – (1·0,6425 m)²)/(2·1·0,6425 m) = 2,20 m. Für k = 0 ergibt sich sinnvollerweise a→∞, da die Mittelsenkrechte nie die parallele Gerade L1M schneidet.)

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