Wellengleichung Aufgaben
Aufgaben:
1 Eine harmonische Schwingung breitet sich vom Nullpunkt als transversale Störung längs der x-Achse mit einer Geschwindigkeit von 25 cm/s aus. Die Amplitude beträgt 12,0 cm, die Frequenz ist 0,50 1/s.
1.1 Stellen Sie die zugehörige Wellengleichung mit eingesetzten Werten auf, wenn sich der Erreger zum Zeitnullpunkt gerade durch die Ruhelage nach oben bewegt.
1.2 Zeichnen Sie die Momentanbilder der Welle zu den Zeitpunkten t = 3,0 s und t = 3,5 s.
1.3 Ermitteln Sie mit Hilfe der Wellengleichung die Elongation des Teilchens an der Stelle x = 6,0 cm zum Zeitpunkt t = 3,0 s.
2 Am linken Ende eines eingespannten Seils beginnt ein Erreger zum Zeitpunkt t = 0 mit sinusförmigen Schwingungen in vertikaler Richtung. Zum Zeitpunkt t = 125 ms (der Erreger erreicht hier den unteren Umkehrpunkt) wird das unten gezeichnete Momentanbild der entstehenden Welle beobachtet.
2.1 Bestimmen Sie die Gleichung y(x; t) der Welle mit eingesetzten Zahlenwerten.
2.2 Zeichnen Sie das Momentanbild der Welle zum Zeitpunkt t = 0,50 s.
Lösungen
\( \lambda = \frac{c}{f} = \frac{0,25 \frac{m}{s}}{0,50 \frac{1}{s}} = 0{,}50\: m \)
\(T = \frac{1}{f} = \frac {1}{0,50 \frac{1}{s}} = 2{,}0 s\)
\( y ( x ; t ) = \hat { y } \operatorname { sin } [ 2 \pi ( \frac { t } { T } – \frac { x } { \lambda } ) ] = 12\:cm \cdot \operatorname { sin } [ 2 \pi ( \frac { t } { 2,0 s } – \frac { x } { 0,50 m } ) ]\)
Da die Schwingungsdauer T = 2,0 s beträgt und t = 3,0 s vergangen sind, wird der Graph der Minus-Sinus-Funktion (Minus-Sinus, da der Erreger sich zum Zeitnullpunkt nach oben durch die Ruhelage bewegt) um 1,5 Sinuswellenzüge (3 Halbwellen) nach rechts verschoben.
Da die Schwingungsdauer T = 2,0 s beträgt und t = 3,5 s vergangen sind, wird der Graph der Minus-Sinus-Funktion um 1,75 Sinuswellenzüge (3,5 Halbwellen) nach rechts verschoben.
\( y ( 0{,}060 m ; 3{,}0 s ) = 12\:cm \operatorname { sin } [ 2 \pi ( \frac { 3,0 s } { 2,0 s } – \frac { 0,060 m } { 0,50 m } ) ] = \underline { 8{,}2\:cm }\)
T = 4 · 0,125 s = 0,50 s
λ = 4 · 4,0 cm = 16 cm
\( y ( x ; t ) = – 2{,}0\:cm \operatorname { sin } [ 2 \pi \cdot ( \frac { t } { 0,50 s } – \frac { x } { 16 cm } ) ] \)
