Wellengleichung I

Herleitung der Wellengleichung der fortschreitenden Transversalwelle

Mit Hilfe der sogenannten Wellengleichung kann die Auslenkung eines beliebigen Teilchens der Welle zu einem beliebigen Zeitpunkt berechnet werden. Aus diesem Grund beschreibt die Gleichung den zeitlichen und den örtlichen Verlauf der Welle.

Zur Vereinfachung befindet sich der Erreger am Ort x=0 und bewegt sich zum Zeitpunkt t=0 durch die Ruhelage in die Richtung positiver Elongation, also nach oben. Außerdem schwingt der Erreger schon so lange, dass der gesamte zu betrachtende Raum von der Welle erfasst ist. Beobachtet wird nur der Raum rechts vom Erreger (x ist positiv).

Für das harmonisch schwingende Teilchen 1 (Erregerteilchen), das sich am Ort x=0 befindet gilt:

\(y ( t ) = \hat { y } \cdot \operatorname { sin } ( \omega t )=\hat { y } \cdot \operatorname { sin } ( 2 \pi f \cdot t )\)

Das Teilchen 2 am Ort x schwingt gegenüber dem Teilchen 1 um das Zeitintervall x/c verspätet:

\(y ( x ; t ) = \hat { y } \cdot \operatorname { sin } ( 2 \pi \cdot f ( t – \frac { x } { c } ) ) = \hat { y } \cdot \operatorname { sin } ( 2 \pi ( f \cdot t \: – f \cdot \frac { x } { c } ) ) \operatorname { mit } f = \frac { 1 } { T } \;\; \operatorname { und } \;\; c = f \cdot \lambda\)

Setzen wir die letzten beiden Gleichungen für \(f\) und \(c\) in die y-Gleichung ein, erhalten wir die Wellengleichung der fortschreitenden Welle:

\(y ( x ; t ) = \hat { y } \cdot \operatorname { sin } ( 2 \pi \: ( \frac { t } { T } – \frac { x } { \lambda } ) )\)

Es sei noch einmal betont, dass die Wellengleichung den zeitlichen und den örtlichen Verlauf der Welle beschreibt. Neben den drei Wellen-Parametern Amplitude, Schwingungsdauer und Wellenlänge hängt die Elongation y eines Teilchens der Welle von dessen Ort x und dem betrachteten Zeitpunkt t ab, was durch die Schreibweise „y(x; t)” hervorgehoben wird.

Betrachtung der gesamten Welle zu einem bestimmten Zeitpunkt

Setzt man bestimmte Werte für t und x in die Wellengleichung ein, erhält man die Elongation des Teilchens am Ort x zum Zeitpunkt t. Setzt man jedoch nur t ein, wird aus dem y(x; t) ein y(x) zum Zeitpunkt t und man erhält damit eine Funktion, die das Aussehen der Welle im Raum beschreibt, ähnlich einer Photographie, die man von der Welle zum Zeitpunkt t macht. Der Term 2π(t/T) in der Wellengleichung stellt einen Phasenverschiebungs-winkel dar, der ausgehend von t = 0 die Sinuswelle (Minus-Sinus) mit steigendem t nach rechts verschiebt. Nach dem Durchlaufen einer Schwingungsdauer T (im Bild unten 0,50 s) wurde die Welle so um eine komplette Sinuswelle verschoben.

Betrachtung eines Teilchens an einem bestimmten Ort

Setzt man in die Wellengleichung einen bestimmten Wert für x ein, erhält man eine Funktion y(t), die die zeitliche Veränderung der Elongation für das Teilchen am Ort x wiedergibt. Für x = 0 beschreibt die Wellengleichung so die Elongation des Teilchens am Ort x = 0, also des Erregers. Der Term 2π(-x/λ) in der Wellengleichung ist wieder eine Phasenverschiebung, die die zeitliche Verzögerung berücksichtigt, die das Teilchen am Ort x gegenüber dem Erreger besitzt. Das negative Vorzeichen vor dem x sorgt für eine Verschiebung der Sinusfunktion (für den Erreger bei x = 0) nach rechts und so für die vorhandene Verzögerung.