Darstellung von Pfeilvektoren in Koordinatenschreibweise

In diesem Kapitel lernen Sie

  • wie man Pfeilvektoren durch Zahlen beschreiben kann (sog. Koordinatenschreibweise).
  • wie der Gegenvektor eines Pfeilvektors und der Nullvektor in Koordinatenschreibweise dargestellt werden.
  • wie man zwei oder mehrere Pfeilvektoren in Koordinatenschreibweise addieren, subtrahieren und mit einer Zahl multiplizieren kann

\(\require{color}\definecolor{energy}{RGB}{114,0,172}\newcommand{\R}{{\rm I\!R}} \newcommand{\vvv}[3]{\left(\begin{array}{c} {#1}\\[-1em] {#2}\\[-1em] {#3} \end {array}\right) }\newcommand{\vv}[2]{\left(\begin{array}{c} {#1}\\[-1em] {#2} \end {array}\right) }\renewcommand{\vec}[1]{\overrightarrow{#1}}\)

Fragen, die Sie am Ende dieses Kapitels beantworten können sollten

  • Was versteht man unter der „Darstellung eines Pfeilvektors in Koordinatenschreibweise“?
  • Geben die Koordinaten eines Pfeilvektors genauso wie die Koordinaten eines Punkts eine feste Position im Koordinatensystem an?
  • Welche Koordinaten hat der Nullvektor?
  • Was muss man mit den Koordinaten eines Vektors machen, um die Koordinaten seines Gegenvektors zu erhalten?
  • Wie erhält man bei der Addition zweier Vektoren in Koordinatenschreibweise die Koordinaten des Summenvektors?
  • Wie erhält man bei der Subtraktion zweier Vektoren in Koordinatenschreibweise die Koordinaten des Differenzvektors?
  • Wie erhält man bei der Multiplikation einer Zahl mit einem Vektor in Koordinatenschreibweise die Koordinaten des skalierten Vektors?

Darstellung von Pfeilvektoren in Koordinatenschreibweise

Wenn einer geometrischen Problemstellung ein kartesisches Koordinatensystem zugrunde liegt, dann lassen sich Pfeilvektoren auch durch Zahlen beschreiben, die angeben, wie weit die zugehörige Verschiebungsanweisung die Position eines Objekts parallel zu den Koordinatenachsen verschiebt.

Verschiebung im 2-Dimensionalen

Wenn eine Verschiebungsanweisung  \(\color{blue}\vec{u}\)  dafür sorgt, dass ein Objekt

  • von einem Punkt  \(\color{red}{A(\,x_A\, |\, y_A\,)}\)
  • zu einem Punkt  \(\color{green}{B(\,x_B\, |\, y_B\,)}\)

verschoben wird, dann bedeutet das, dass das Objekt

  • parallel zur x-Achse um  \(\color{green}{x_B}\,{-}\,{\color{red}{x_A}}\)  Schritte und
  • parallel zur y-Achse um  \(\color{green}{y_B}\,{-}\,{\color{red}{y_A}}\)  Schritte

verschoben wird.

Die Angabe dieser beiden Schrittweiten beschreibt die Verschiebungsanweisung  \(\color{blue}\vec{u}\)  eindeutig. Daher fasst man sie zu einem Zahlenpaar zusammen, stellt dieses aber in Spaltenform dar, damit man sie nicht mit einer Punkt-Angabe verwechselt.

Schreibweise:  \( {\color{blue}{\vec{u}}}={\color{blue}{\vec{AB}}}=\vv{ {\color{green}{x_B}}\,{-}\,{\color{red}{x_A}}}{{\color{green}{y_B}}\,{-}\,{\color{red}{y_A}}}=\vv{{\color{blue}{\Delta x}}}{{\color{blue}{\Delta y}}}\)

Diese Zahlenspalte bezeichnet man als

  • Darstellung von \({\color{blue}{\vec{u}}}\)  „in Koordinatenschreibweise„
  • oder „Koordinatenspalte“ von  \({\color{blue}{\vec{u}}}\).

Die beiden Schrittweiten  \({\color{blue}{\Delta x}}\)  und  \({\color{blue}{\Delta y}}\)  werden tatsächlich auch „Koordinaten“ des Vektors  \({\color{blue}{\vec{u}}}\)  genannt.

Beispiel

Im nachfolgenden Geogebra-Applet können Sie beobachten, wie sich die Darstellung des Pfeilvektors  \(\color{blue}\vec{u}\)  in Spaltenform verändert, wenn Sie die Punkte  \(\color{red}A\)  und  \(\color{green}B\)  verschieben.

 

 

Verschiebung im 3-Dimensionalen

Wenn eine Verschiebungsanweisung  \(\color{blue}\vec{u}\)  dafür sorgt, dass ein Objekt

  • von einem Punkt  \(\color{red}{A(\,x_A\, |\, y_A\,|\, z_A\,)}\)
  • zu einem Punkt  \(\color{green}{B(\,x_B\, |\, y_B\,|\, z_B\,)}\)

verschoben wird, dann bedeutet das, dass das Objekt

  • parallel zur x-Achse um  \(\color{green}{x_B}\,{-}\,{\color{red}{x_A}}\)  Schritte und
  • parallel zur y-Achse um  \(\color{green}{y_B}\,{-}\,{\color{red}{y_A}}\)  Schritte
  • parallel zur z-Achse um  \(\color{green}{z_B}\,{-}\,{\color{red}{z_A}}\)  Schritte

verschoben wird.

Die Angabe dieser beiden Schrittweiten beschreibt die Verschiebungsanweisung  \(\color{blue}\vec{u}\)  eindeutig. Daher fasst man sie zu einem Zahlentripel zusammen, stellt dieses aber in Spaltenform dar, damit man sie nicht mit einer Punkt-Angabe verwechselt.

Schreibweise:  \( {\color{blue}{\vec{u}}}={\color{blue}{\vec{AB}}}=\vvv{ {\color{green}{x_B}}\,{-}\,{\color{red}{x_A}}}{{\color{green}{y_B}}\,{-}\,{\color{red}{y_A}}}{{\color{green}{z_B}}\,{-}\,{\color{red}{z_A}}}=\vvv{{\color{blue}{\Delta x}}}{{\color{blue}{\Delta y}}}{{\color{blue}{\Delta z}}}\)

Diese Zahlenspalte bezeichnet man als

  • Darstellung von \({\color{blue}{\vec{u}}}\)  „in Koordinatenschreibweise„
  • oder „Koordinatenspalte“ von  \({\color{blue}{\vec{u}}}\).

Die drei Schrittweiten  \({\color{blue}{\Delta x}}\),  \({\color{blue}{\Delta y}}\)  und  \({\color{blue}{\Delta z}}\)  werden tatsächlich auch „Koordinaten“ des Vektors  \({\color{blue}{\vec{u}}}\)  genannt.

Beispiel

Im nachfolgenden Geogebra-Applet können Sie beobachten, wie sich die Darstellung des Pfeilvektors  \(\color{blue}\vec{u}\)  in Spaltenform verändert, wenn Sie die Punkte  \(\color{red}A\)  und  \(\color{green}B\)  verschieben.

Bewegungsmodus anzeigen und ändern:

Um die Position eines Punktes in der 3D-Ansicht eines Geogebra-Applets zu verändern, können Sie den den Punkt je nach Modus entweder

  • parallel zur x-y-Ebene oder
  • parallel zur z-Achse

bewegen. Geogebra zeigt den Bewegungsmodus in Form von fetten Pfeilen an, solange der Mauszeiger auf dem Punkt platziert ist.

Um den Modus zu ändern, klicken Sie einen Punkt einfach nur einmal an.

Punkt im Koordinatensystem bewegen:

Um den Punkt zu bewegen, können Sie den Punkt

  • mit der Maus einmal anklicken und anschließend mit den Pfeiltasten der Tastatur bewegen oder
  • mit der Maus anklicken, die Maustaste gedrückt halten und nun die Maus bewegen.
 

 

Aufgaben

a) Durch die Verschiebung  \(\vec{AB} = \vvv{3}{-2}{2}\)  wird ein Objekt vom Punkt  \(A(-4|-5|1)\)  zum Punkt  \(B\)  verschoben. Ermitteln Sie die Koordinaten von  \(B\).

Vorschlag 1

\(\vec{AB}\) = \(\vvv{x_B\,{-}\,x_A}{y_B\,{-}\,y_A}{z_B\,{-}\,z_A}\) = \(\vvv{x_B\,{-}\,(-4)}{y_B\,{-}\,(-5)}{z_B\,{-}\,1}\) = \(\vvv{3}{-2}{2}\) \(\quad\begin{array}{l} \Rightarrow x_B\,{-}\,(-4)=3\\\Rightarrow y_B\,{-}\,(-5)=-2\\\Rightarrow z_B\,{-}\,1=2 \end{array}\) \(\quad\begin{array}{l} \Rightarrow x_B = 3\,{-}\,4=-1\\\Rightarrow y_B = -2\,{-}\,5=-7\\\Rightarrow z_B = 2+1=3 \end{array}\)

Also ist \(B=(-1|-7|3)\).

Vorschlag 2

Die Information  \(\vec{AB} = \vvv{3}{-2}{2}\)  gibt an, dass durch diese Verschiebungsanweisung ein Objekt

  • parallel zur x-Achse um  \(3\)  Schritte und
  • parallel zur y-Achse um  \(-2\)  Schritte
  • parallel zur z-Achse um  \(2\)  Schritte

verschoben wird, z.B. auch von  \(A(-4|-5|1)\)  nach  \(B\).

Foglich muss muss  \(B\)  die Koordinaten  \(x_B = -4 + 3\),  \(y_B = -5\,{-}\,2\)  und  \(z_B = 1 + 2\)  haben.

Also ist \(B=(-1|-7|3)\).

b) Durch die Verschiebung  \(\vec{CD} = \vvv{-2}{4}{-3}\)  wird ein Objekt vom Punkt  \(E\)  zum Punkt  \(F(1|2|-6)\)   verschoben. Ermitteln Sie die Koordinaten von  \(E\).

Vorschlag 1

Die Verschiebung  \(\vec{CD}=\vvv{-2}{4}{-3}\)  verschiebt Objekte von  \(C\)  nach  \(D\)  in absolut gleicher Weise wie von   \(E\)  nach  \(F\).

\(\vec{CD}\) = \(\vec{EF}\) = \(\vvv{x_F\,{-}\,x_E}{y_F\,{-}\,y_E}{z_F\,{-}\,z_E}\) = \(\vvv{1\,{-}\,x_E}{2\,{-}\,y_E}{-6\,{-}\,z_E}\) = \(\vvv{-2}{4}{-3}\) \(\quad\begin{array}{l} \Rightarrow 1\,{-}\,x_E=-2\\\Rightarrow 2\,{-}\,y_E=4\\\Rightarrow -6\,{-}\,z_E=-3 \end{array}\) \(\quad\begin{array}{l} \Rightarrow x_E = 1+2=3\\\Rightarrow y_E = 2\,{-}\,4=-2\\\Rightarrow z_E = -6+3=-3 \end{array}\)

Also ist \(E=(3|-2|-3)\).

Vorschlag 2

Die Information  \(\vec{CD} = \vvv{-2}{4}{-3}\)  gibt an, dass durch diese Verschiebungsanweisung ein Objekt

  • parallel zur x-Achse um  \(-2\)  Schritte und
  • parallel zur y-Achse um  \(4\)  Schritte
  • parallel zur z-Achse um  \(-3\)  Schritte

verschoben wird. Folglich gilt das auch für die Verschiebung von  \(E\)  nach  \(F(1|2|-6)\).

Folglich muss  \(E\)  die Koordinaten \(x_E = 1\,{-}\,(-2)\),  \(y_E = 2\,{-}\,4\)  und  \(z_E = -6\,{-}\,(-3)\)  haben.

Also ist \(E=(3|-2|-3)\).

Rechnen mit Pfeilvektoren in Koordinatenschreibweise

Addition zweier Pfeilvektoren in Koordinatenschreibweise

Wenn ein Objekt

  • zuerst von  \(\color{red}{A(\,x_A\, |\, y_A\,)}\)  nach  \(\color{green}{B(\,x_B\, |\, y_B\,)}\)  und
  • anschließend von  \(\color{green}{B(\,x_B\, |\, y_B\,)}\)  nach  \(\color{energy}{C(\,x_C\, |\, y_C\,)}\)

verschoben werden soll, lässt sich dieses Nacheinander-Verschieben als Pfeilvektor-Summe zweier Pfeilvektoren darstellen:  \({\color{blue}{\vec{AB}}} + {\color{darkorange}{\vec{BC}}}\) .

Wir wissen inzwischen, dass sich diese Nacheinander-Durchführung der beiden Verschiebungen  \({\color{blue}{\vec{AB}}}\)  und  \({\color{darkorange}{\vec{BC}}}\)  durch eine einzige Verschiebung  \({\color{magenta}{\vec{AC}}}\)  ersetzen lässt. Es gilt also:  \({\color{blue}{\vec{AB}}} + {\color{darkorange}{\vec{BC}}} = {\color{magenta}{\vec{AC}}}\).

Im nebenstehenden Geogebra-Applet können Sie diesen Vorgang beobachten. Blenden Sie dazu auch den Repräsentanten der Ersatzverschiebung  \({\color{magenta}{\vec{AC}}}\)  ein (setzen Sie dazu das Häkchen in dem entsprechenden Auswahlkästchen).

 

 

Folgerung für die Darstellung in Koordinatenschreibweise

Die Aussage  \({\color{blue}{\vec{AB}}} + {\color{darkorange}{\vec{BC}}} = {\color{magenta}{\vec{AC}}}\)  muss auch gelten, wenn die beteiligten Vektoren in Koordinatenschreibweise dargestellt werden.

Also muss

\(\underbrace{\vv{x_B\,{-}\,x_A}{y_B\,{-}\,y_A}}_{{\color{blue}{\vec{AB}}}} + \underbrace{\vv{x_C\,{-}\,x_B}{y_C\,{-}\,y_B}}_{{\color{darkorange}{\vec{BC}}}}\)  gleich \(\underbrace{\vv{x_C\,{-}\,x_A}{y_C\,{-}\,y_A}}_{{\color{magenta}{\vec{AC}}}}\)  sein.

Es ist schnell zu erkennen, dass man die korrekten Koordinaten von  \({\color{magenta}{\vec{AC}}}\)  erhält, wenn man die jeweils auf gleicher Höhe stehenden Koordinaten von  \({\color{blue}{\vec{AB}}}\)  und  \({\color{darkorange}{\vec{BC}}}\)  addiert.

\(\vv{ {\color{blue}{(x_B\,{-}\,x_A)}} + {\color{darkorange}{(x_C\,{-}\,x_B)}}}  {{\color{blue}{(y_B\,{-}\,y_A)}}+{\color{darkorange}{(y_C\,{-}\,y_B)}}}\) = \(\underbrace{\vv{x_C\,{-}\,x_A}{y_C\,{-}\,y_A}}_{{\color{magenta}{\vec{AC}}}}\)

Pfeilvektor-Summe im 2-Dimensionalen

Die Summe der Vektoren  \(\vv{x_a}{y_a}\)  und  \(\vv{x_b}{y_b}\)  wird folgendermaßen definiert:

\(\vv{x_a}{y_a}+\vv{x_b}{y_b}\) = \(\vv{x_a + x_b}{y_a + y_b}\)

Beispiel:

\(\vv{1}{-3}+\vv{3}{2}\) = \(\vv{1 + 3}{-3 + 2}\) = \(\vv{4}{-1}\)

Pfeilvektor-Summe im 3-Dimensionalen

Die Summe der Vektoren  \(\vvv{x_a}{y_a}{z_a}\)  und  \(\vvv{x_b}{y_b}{z_b}\)  wird folgendermaßen definiert:

\(\vvv{x_a}{y_a}{z_a}+\vvv{x_b}{y_b}{z_b}\) = \(\vvv{x_a + x_b}{y_a + y_b}{z_a + z_b}\)

Beispiel:

\(\vvv{-2}{1}{-4}+\vvv{5}{2}{-2}\) = \(\vvv{-2+5}{1+2}{-4+(-2)}\) = \(\vvv{3}{3}{-6}\)

Gegenvektoren in Koordinatenschreibweise

Wir gehen von der Situation aus, dass die Punkte   \(\color{red}{A(\,x_A\, |\, y_A\,)}\)  und   \(\color{green}{B(\,x_B\, |\, y_B\,)}\)  vorgegeben sind.

Offenbar ist der Pfeilvektor  \({\color{energy}{\vec{BA}}}\)  der Gegenvektor von  \({\color{blue}{\vec{AB}}}\).  Man darf also schreiben:  \({\color{energy}{\vec{BA}}}\) = \({\color{blue}{-\vec{AB}}}\).

Es lohnt sich, die Koordinatenschreibweise von  \({\color{energy}{\vec{BA}}}\)  und  \({\color{blue}{\vec{AB}}}\)  genauer zu untersuchen.

Der Pfeilvektor  \({\color{blue}{\vec{AB}}}\)  beschreibt die Verschiebung eines Objekts

  • parallel zur x-Achse um  \(\color{green}{x_B}\,{-}\,{\color{red}{x_A}}\)  Schritte und
  • parallel zur y-Achse um  \(\color{green}{y_B}\,{-}\,{\color{red}{y_A}}\)  Schritte.

Kurz:  \({\color{blue}{\vec{AB}}}=\vv{ {\color{green}{x_B}}\,{-}\,{\color{red}{x_A}}}{{\color{green}{y_B}}\,{-}\,{\color{red}{y_A}}}\)

Der Pfeilvektor  \({\color{energy}{\vec{BA}}}\)  beschreibt die Verschiebung eines Objekts

  • parallel zur x-Achse um  \(\color{red}{x_A}\,{-}\,{\color{green}{x_B}}\)  Schritte und
  • parallel zur y-Achse um  \(\color{red}{y_A}\,{-}\,{\color{green}{y_B}}\)  Schritte.

Kurz:  \({\color{energy}{\vec{BA}}}=\vv{ {\color{red}{x_A}}\,{-}\,{\color{green}{x_B}}}{{\color{red}{y_A}}\,{-}\,{\color{green}{y_B}}}=\vv{ -({\color{green}{x_B}}\,{-}\,{\color{red}{x_A}})}{-({\color{green}{y_B}}\,{-}\,{\color{red}{y_A}})}\)

Vergleichen Sie die Koordinaten von  \({\color{blue}{\vec{AB}}}\)  und  \({\color{energy}{\vec{BA}}}\)  und beschreiben Sie mit eigenen Worten, was man mit den Koordinaten des Vektors  \({\color{blue}{\vec{AB}}}\)  machen muss, um die Koordinaten seines Gegenvektors  \({\color{energy}{\vec{BA}}}\)  zu erhalten.

Multipliziert man alle Koordinaten des Vektors  \({\color{blue}{\vec{AB}}}\)  jeweils mit -1, so erhält man die Koordinaten seines Gegenvektors  \({\color{energy}{\vec{BA}}}\).

Gegenvektor eines Vektors im 2-Dimensionalen

Hat ein Vektor  \({\color{blue}{\vec{u}}}\)  die Koordinatendarstellung   \(\vv{{\color{blue}{x_u}} } {{\color{blue}{y_u}}}\), so hat sein Gegenvektor  \({\color{energy}{-\vec{u}}}\)  die Koordinatendarstellung   \(\vv{{\color{energy}{-x_u}} } {{\color{energy}{-y_u}}}\).

Kurz:  \({\color{blue}{\vec{u}}}=\vv{{\color{blue}{x_u}} } {{\color{blue}{y_u}}}\) \(\quad\Rightarrow\quad{\color{energy}{-\vec{u}}}=\vv{{\color{energy}{-x_u}} } {{\color{energy}{-y_u}}}\).

Beispiel:

\(\vec{a}=\vv{1}{-3}\) \(\quad\Rightarrow\quad -\vec{a}=\vv{-1}{3}\)

Gegenvektor eines Vektors im 3-Dimensionalen

Hat ein Vektor  \({\color{blue}{\vec{u}}}\)  die Koordinatendarstellung   \(\vvv{{\color{blue}{x_u}} } {{\color{blue}{y_u}}} {{\color{blue}{z_u}}}\), so hat sein Gegenvektor  \({\color{energy}{-\vec{u}}}\)  die Koordinatendarstellung   \(\vvv{{\color{energy}{-x_u}} } {{\color{energy}{-y_u}}} {{\color{energy}{-z_u}}}\).

Kurz:  \({\color{blue}{\vec{u}}}=\vvv{{\color{blue}{x_u}} } {{\color{blue}{y_u}}}{{\color{blue}{z_u}}}\) \(\quad\Rightarrow\quad{\color{energy}{-\vec{u}}}=\vvv{{\color{energy}{-x_u}} } {{\color{energy}{-y_u}}} {{\color{energy}{-z_u}}}\).

Beispiel:

\(\vec{b}=\vvv{-7}{0}{\frac{1}{2}}\) \(\quad\Rightarrow\quad -\vec{b}=\vvv{7}{0}{-\frac{1}{2}}\)

Der Nullvektor in Koordinatenschreibweise

Zur Erinnerung:

Der Nullvektor  \(\vec{0}\)  beschreibt eine „Verschiebung um nichts„, oder eben einen „Stillstand“. Denn wird ein Objekt

  • zuerst gemäß der Verschiebungsanweisung  \({\color{blue}{\vec{u}}}\)  und
  • anschließend gemäß der Verschiebungsanweisung  \({\color{energy}{-\vec{u}}}\)

verschoben, so hätte man sich diese beiden Verschiebungen bekanntlich sparen können – das Objekt wurde effektiv um „nichts“ verschoben.

Weil das Ergebnis des Nacheinander-Verschiebens stets selbst wieder durch eine einzige Ersatz-Verschiebungsanweisung beschreibbar sein muss, gibt es auch für die „Verschiebung um nichts“ eine Darstellung: den Nullvektor  \(\vec{0}\). Kurz: \({\color{blue}{\vec{u}}}+({\color{energy}{-\vec{u}}})=\vec{0}\)

Betrachtung in der Koordinatenschreibweise:

Gilt  \({\color{blue}{\vec{u}}} = \vv{{\color{blue}{x_u}} } {{\color{blue}{y_u}}}\), so ist  \({\color{energy}{-\vec{u}}} = \vv{{\color{energy}{-x_u}} } {{\color{energy}{-y_u}}}\)  und es folgt:

\(\vec{0} = {\color{blue}{\vec{u}}}+({\color{energy}{-\vec{u}}})\) \(= \vv{{\color{blue}{x_u}}} {{\color{blue}{y_u}}}+\vv{{\color{energy}{-x_u}}} {{\color{energy}{-y_u}}}\) \(=\vv{{\color{blue}{x_u}}+({\color{energy}{-x_u}})} {{\color{blue}{y_u}}+({\color{energy}{-y_u}})}\) \(= \vv{0}{0}\)

Das heißt: alle Koordinaten des Nullvektors  \(\vec{0}\)  sind 0.

Aufgabe

Im nebenstehenden Geogebra-Applet sollen Sie versuchen, verschiedene geschlossene Vektorketten zu erzeugen, indem Sie jeweils möglichst wenige Pfeilvektoren verändern.

Sie können sich aber auch davon überzeugen, dass eine geschlossene Vektorkette immer genau dann vorliegt, wenn die Summe aller Pfeilvektoren den Nullvektor ergibt.

Wenn das Wort „Pfeil-Kette“ heißen würde, würde man erwarten, dass eine Kette von aneinanderhängenden Pfeilen zu sehen sein muss.

Das Wort „Vektor-Kette“ fordert das NICHT! Wenn eine Vektor-Kette vorliegt, müssen sich die Repräsentanten von allen beteiligten Summanden insgesamt so verschieben lassen, dass eine Pfeil-Kette entsteht.

 

 

Nullvektor im 2-Dimensionalen

Die Nullverschiebung („Verschiebung um nichts„) wird beschrieben durch den Nullvektor  \(\vec{0}=\vv{0}{0}\).

Nullvektor im 3-Dimensionalen

Die Nullverschiebung („Verschiebung um nichts„) wird beschrieben durch den Nullvektor  \(\vec{0}=\vvv{0}{0}{0}\).

Subtraktion zweier Pfeilvektoren in Nullvektor in Koordinatenschreibweise

Die Subtraktion lässt sich auf die Addition des Gegenvektors zurückführen:

\({\color{magenta}{\vec{z}}}={\color{blue}{\vec{u}}}\,{-}\,{\color{darkorange}{\vec{v}}}={\color{blue}{\vec{u}}}\,{+}\,(-{\color{darkorange}{\vec{v}}})\)

Folglich können wir sie sofort in der Koordinatenschreibweise durchführen:

Die Koordinaten von  \({\color{magenta}{\vec{z}}}\)  erhält man, wenn man die jeweils auf gleicher Höhe stehenden Koordinaten von  \({\color{blue}{\vec{u}}}\)  und  \({\color{darkorange}{\vec{v}}}\)  subtrahiert.

Im nebenstehenden Geogebra-Applet können Sie diesen Vorgang beobachten. Blenden Sie dazu auch den Repräsentanten der Ersatzverschiebung  \({\color{magenta}{\vec{z}}}\)  ein (setzen Sie dazu das Häkchen in dem entsprechenden Auswahlkästchen).

 

 

Pfeilvektor-Differenz im 2-Dimensionalen

Es gilt:  \(\vv{x_a}{y_a}\,{-}\,\vv{x_b}{y_b}\) = \(\vv{x_a\,{-}\, x_b}{y_a\,{-}\,y_b}\)

Beispiel:

\(\vv{1}{-3}\,{-}\,\vv{3}{2}\) = \(\vv{1\,{-}\,3}{-3\,{-}\,2}\) = \(\vv{-2}{-5}\)

Pfeilvektor-Differenz im 3-Dimensionalen

Es gilt:  \(\vvv{x_a}{y_a}{z_a}\,{-}\,\vvv{x_b}{y_b}{z_b}\) = \(\vvv{x_a\,{-}\, x_b}{y_a\,{-}\, y_b}{z_a\,{-}\, z_b}\)

Beispiel:

\(\vvv{-2}{1}{-4}\,{-}\,\vvv{5}{2}{-2}\) = \(\vvv{-2\,{-}\,5}{1\,{-}\,2}{-4\,{-}\,(-2)}\) = \(\vvv{-7}{-1}{-2}\)

Multiplikation einer reellen Zahl mit einem Pfeilvektor

Die Multiplikation einer Zahl mit einem Vektor hatten wir graphisch auf folgende Art und Weise festgelegt:

Ist  \({\color{green}{k}}\)  eine reelle Zahl und ist  \({\color{blue}{\overrightarrow{u}}}\)  ein Pfeilvektor, dann ist auch  \({\color{green}{k}}\cdot {\color{blue}{\overrightarrow{u}}}\)  ein Pfeilvektor.

Die Repräsentanten von  \({\color{green}{k}}\cdot {\color{blue}{\overrightarrow{u}}}\)  sind

  • parallel zu  \({\color{blue}{\overrightarrow{u}}}\),
  • für  \({\color{green}{k}}>0\)  genauso orientiert wie  \( {\color{blue}{\overrightarrow{u}}}\),
  • für  \({\color{green}{k}}<0\)  entgegengesetzt orientiert zu  \( {\color{blue}{\overrightarrow{u}}}\),
  • \(|{\color{green}{k}}|\)-mal so lang wie  \( {\color{blue}{\overrightarrow{u}}}\).

Im nebenstehenden Geogebra-Applet können Sie beobachten, dass sich die skalierende Wirkung des Faktors  \({\color{green}{k}}\)

  • nicht auf die Länge von  \({\color{blue}{\overrightarrow{u}}}\)  beschränkt,
  • sondern auch für die Koordinaten  \(\Delta{x}\)  und  \(\Delta{y}\)  von  \({\color{blue}{\overrightarrow{u}}}\) gilt.

Das heißt: \({\color{green}{k}}\cdot {\color{blue}{\overrightarrow{u}}}\) = \({\color{green}{k}}\cdot \vv{{\color{blue}{x_u}}}{ {\color{blue}{y_u}}} \) = \(\vv{{\color{green}{k}}\cdot {\color{blue}{x_u}}}{{\color{green}{k}}\cdot {\color{blue}{y_u}}} \)

 

 

Skalar-Vektor-Multiplikation im 2-Dimensionalen

Für  \(k\in\R\)  und  \(\vec{a}=\vv{x_a}{y_a}\)  gilt:

\(k\cdot\vec{a} = k\cdot\vv{x_a}{y_a} = \vv{k\cdot x_a}{k\cdot y_a} \)

Beispiel:

\(-\dfrac{1}{3}\cdot\vv{-3}{1,5}\) = \(\vv{-\frac{1}{3}\cdot(-3)}{-\frac{1}{3}\cdot1,5}\) = \(\vv{1}{-0,5}\)

Skalar-Vektor-Multiplikation im 3-Dimensionalen

Für  \(k\in\R\)  und  \(\vec{a}=\vvv{x_a}{y_a}{z_a}\)  gilt:

\(k\cdot\vec{a} = k\cdot\vvv{x_a}{y_a}{z_a} = \vvv{k\cdot x_a}{k\cdot y_a}{k\cdot z_a}\)

Beispiel:

\(\sqrt{2}\cdot\vvv{\frac{1}{2}\sqrt{2}}{0}{3}\) = \(\vvv{\sqrt{2}\cdot\frac{1}{2}\sqrt{2}}{\sqrt{2}\cdot 0}{\sqrt{2}\cdot 3}\) = \(\vvv{1}{0}{3\sqrt{2}}\)

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