Lineare Gleichungssysteme

Überblick zu den Inhalten in diesem Kapitel

In diesem Kapitel lernen Sie,

  • was ein Gleichungssystem ist,
  • welche Grundbegriffe dabei eine wichtige Rolle spielen,
  • eine vereinfachte Darstellung für Gleichungssysteme,
  • die drei verschiedenen Arten von Lösungsmengen, die dabei auftreten können.

Erst in den danach folgenden Kapiteln werden Sie lernen, mit welchen Verfahren man die Lösungsmengen von linearen Gleichungssystemen ermitteln kann.

Wichtige Grundbegriffe im Zusammenhang mit Gleichungen\(\newcommand{\R}{{\rm I\!R}}\)

Was ist eine Gleichung?

Eine Gleichung ist eine mathematische Aussage über die Gleichheit der Werte zweier Terme.

Diese Aussage kann wahr oder falsch sein.

Beispiele:

\(1 + 3 = 2 \cdot 3\ – 2\)  (wahr)

\(1 + 4 = 2 \cdot 4\ – 2\)  (falsch)

Was ist eine Variable?

In einer solchen Aussage kann ein Wert durch einen Platzhalter (üblicherweise Buchstaben, meist x, y, z) ersetzt worden sein. Man spricht man dann nicht mehr von einer Aussage, sondern von einer Aussageform.

Wenn man für einen Platzhalter verschiedene Werte einsetzen darf, nennt man einen solchen Platzhalter auch Variable (weil der Wert des Platzhalters variabel, also veränderbar ist).

Sobald man einen konkreten Wert für eine Variable festlegt, muss man überall dort, wo die Variable in der Gleichung vorkommt, diesen Wert anstelle der Variable einsetzen. Diesen Vorgang nennt man „Auswertung„.

Beispiel:

\(1 + x = 2 \cdot x\ – 2\)

Die in einzige vorkommende Variable ist hier das \(x\).

Die Auswertung der Gleichung für \(x = 3\) liefert die wahre Aussage \(1 + 3 = 2 \cdot 3\ – 2\).

Die Auswertung der Gleichung für \(x = 4\) liefert die falsche Aussage \(1 + 4 = 2 \cdot 4\ – 2\).

Nach dem Auswerten wird aus einer Gleichung entweder eine wahre oder eine falsche Aussage.

Was ist eine lineare Gleichung?

Gleichungen, in denen nur lineare Terme vorkommen (d.h. die Variablen kommen – wenn überhaupt – nur mit dem Exponenten 1 vor), heißen lineare Gleichungen.

Beispiele:

\(x + 3y\ – 2z = 1\)  ist eine lineare Gleichung.

\(x² + y  = 2\)  ist keine lineare Gleichung, da der Exponent bei \(x\) nicht 1 ist.

\(\frac{1}{x} + \frac{1}{y} = z\)  ist keine lineare Gleichung, da der Exponent bei \(x\) und bei \(y\) gleich -1 ist.

Was ist eine homogene bzw. inhomogene Gleichung?

Diese Begriffe kann man auf unterschiedliche Weisen definieren. Wir verwenden hier diese Definition:

Setzt man für alle Variablen in einer Gleichung den Wert 0 ein, so heißt die Gleichung

  • homogen, wenn dabei eine wahre Aussage entsteht.
  • inhomogen, wenn dabei eine falsche Aussage entsteht.

Beispiele:

\(x + 2y\ – 3z + 1 = 1\)  ist eine homogene Gleichung,

denn wertet man die Gleichung für \(x=0\), \(y=0\), \(z=0\) aus, so erhält man die wahre Aussage 1 = 1.

\(x\ – 2y + 3 + z = 0\)  ist eine inhomogene Gleichung,

denn wertet man die Gleichung für \(x=0\), \(y=0\), \(z=0\) aus, so erhält man die falsche Aussage 3 = 0.

Grundmenge für eine Gleichung mit einer Variablen

Die Menge aller Werte, die für die Variable in der Gleichung eingesetzt werden dürfen, egal, ob dadurch wahre oder falsche Aussagen entstehen, heißt Grundmenge  \(G\).

Beispiel:

\(2 \cdot x = 3\)  mit  \(G =\R\)

Da in der Menge der reellen Zahlen auch die Bruchzahlen enthalten sind, darf in diesem Fall für \(x\) der Wert \(\tfrac{3}{2}\) eingesetzt werden, was zu einer wahren Aussage führt.

\(2 \cdot x = 3\)  mit  \(G = {\rm I\!N}\)

Da jetzt nur natürliche Zahlen für die Variable \(x\) eingesetzt werden dürfen, entstehen in diesem Fall nur falsche Aussagen.

Grundmenge für eine Gleichung mit mehreren Variablen

Treten in einer Gleichung verschiedene Variablen auf, so muss für jede Variable geklärt werden, aus welcher Menge die Werte stammen dürfen, die für die Variablen eingesetzt werden dürfen.

Achtung:

  • Es wird nicht für jede Variable jeweils eine eigene Grundmenge angegeben!
  • Die Grundmenge listet alle Kombinationsmöglichkeiten für die erlaubten Werte der Variablen auf, und zwar in Form von Zahlen-Paketen (z.B. Pärchen, Tripel, …).

Beispiel:

\(2 x = 3\ – y\)

Die Darstellung der Grundmenge G sieht etwas aufwändiger aus:

\(G = \left\{ (x; y)\ |\ x \in \R, y \in \R \right\}\)

Kürzere Schreibweise:

\(G = \R \times \R\)  oder auch \(G = \R^2\).

Was ist eine Lösung einer Gleichung mit einer einzigen Variablen?

Unter der Lösung einer Gleichung mit nur einer Variablen versteht man einen Wert aus der Grundmenge, der in der Gleichung für die Variable an jeder Stelle eingesetzt wird, wo sie vorkommt, so dass eine wahre Aussage entsteht.

Beispiel:

\(1 + x = 2 \cdot x\ – 2\)  mit  \(G = \R\)

\(x = 3\)  ist eine Lösung der Gleichung, denn \(1 + 3 = 2 \cdot 3\ – 2\)  ist eine wahre Aussage.

Was ist eine Gleichung ohne Lösung?

Wenn es keinen Wert aus der Grundmenge für die Variablen gibt, so dass die Gleichung zu einer wahren Aussage wird, so besitzt die Gleichung keine Lösung.

Beispiel:

\(1 + x = 2 + x\)  mit  \(G = \R\)

Diese Gleichung besitzt keine Lösung.

Was ist eine Lösung einer Gleichung mit mehreren Variablen?

Treten in der Gleichung verschiedene Variablen auf, so bezeichnet man die „sortierte Auflistung“ der Werte, die für die verschiedenen Variablen in der Gleichung eingesetzt werden müssen, damit eine wahre Aussage vorliegt, eine Lösung der Gleichung.

Eine solche „sortierte Auflistung“ ist eine sog. „geordnete Menge“ und wird üblicherweise als „Tupel“ bezeichnet (Zweiertupel, Dreiertupel, Vierertupel, usw.).

Beispiel:

\(3 x + 2 y = 12\)  mit  \(G = \R^2\)

Eine Lösung liegt z.B. vor, wenn \(x = 0\) und \(y = 6\) ist.

Man schreibt dafür kurz das Zahlenpärchen \((0; 6)\).

Auch \((4; 0)\) ist eine Lösung der Gleichung.

Tatsächlich hat diese Gleichung unendlich viele Lösungen.

Was ist die Lösungsmenge einer Gleichung?

Die Menge aller Lösungen einer Gleichung heißt Lösungsmenge L der Gleichung.

Wenn eine Gleichung keine Lösungen besitzt, so ist die Lösungsmenge die sog. leere Menge, also  \(L = \{\ \}\).

Für die Anzahl der Lösungen, die in der Lösungsmenge \(L\) aufgelistet sind, gibt es die Schreibweise  \(|L|\). Man liest diese Schreibweise mit den Worten „Mächtigkeit von \(L\)“.

  • Die Schreibweise  \(|L|=0\)  bedeutet, dass die Lösungsmenge leer ist.
  • Die Schreibweise  \(|L|=1\)  bedeutet, dass die Gleichung genau eine einzige Lösung besitzt.
  • Die Schreibweise  \(|L|=\infty\)  bedeutet, dass die Gleichung unendlich viele Lösungen besitzt.

Beispiel:

\(1 + x = 2 x\ – 2\)  mit  \(G = \R\)

Die Lösungsmenge lautet  \(L = \{3\}\).

Beispiel:

\(x – 5 = x\)  mit  \(G = \R\)

Die Lösungsmenge ist leer, da die Gleichung keine Lösung besitzt.

Schreibweise: \(L = \{\ \}\)

Beispiel:

\(3 = 5\)  mit  \(G = \R\)

Die Lösungsmenge lautet  \(L = \{\ \}\).

Beispiel:

\(3x + 2y = 12\)  mit  \(G = \R^2\)

Die Lösungsmenge lautet  \(L = \left\{ (0; 6), (4; 0), (2; 3), … \right\}\)

Genauer: \(L = \left\{ (x; y)\ |\ y = 6\ – 1{,}5 x \ \wedge \ x \in \R \right\}\)

Kürzer: \(L = \left\{ (x; 6\ – 1{,}5 x)\ |\ x \in \R \right\}\)

Wichtige Begriffe im Zusammenhang mit Gleichungssystemen

Was ist ein Gleichungssystem?

Sobald mehrere Gleichungen vorliegen, die „gleichzeitig“ Aussagen über eine oder mehrere Variablen machen, so bezeichnet man die Gesamtheit aller vorliegenden Gleichungen als „Gleichungssystem“.

Die Gleichungen werden üblicherweise mit römischen Ziffern durchnummeriert (I, II, III, IV, V, …).

Beispiel:

\(\begin{align} \text{I)} && & 2x + y = z \\ \text{II)} && & – 2y = 3\ – 2x \\ \text{III)} && & 1\ – y\ – z = 0 \end{align}\)

Übliche Darstellungen von Gleichungssystemen

Für weitere Schritte erweist es sich als vorteilhaft,

  • alle Terme mit Variablen alphabetisch nach links
  • alle Konstanten nach rechts
  • gleiche Variablen untereinander

zu sortieren.

Beispiel:

\(\begin{array}{rrrrl} \text{I)} & 2x &+ y & – z &= 0 \\ \text{II)} & 2x &- 2y &  &= 3 \\ \text{III)} &  &y & + z &= 1 \end{array}\)

Kompakte Darstellung als Matrix

Als Matrix bezeichnet man die tabellarische Darstellung aller wesentlichen Informationen eines Gleichungssystems.

Sie entsteht, indem von der vorherigen üblichen sortierten Darstellung

  • die römischen Ziffern,
  • alle Variablen und
  • die Gleichheitszeichen

weggelassen werden.

Danach stehen

  • die zur selben Variablen gehörenden Koeffizienten jeweils stets untereinander
  • in der letzten Spalte nur die Konstanten der jeweiligen Gleichungen.

Anstelle der Gleichheitszeichen wird oft ein senkrechter Strich unmittelbar vor die letzte Spalte gesetzt.

Beispiel:

Die ausführliche Darstellung

\(\begin{array}{rrrrl} \text{I)} & 2x&+ y& – z &= 0 \\ \text{II)} & 2x&- 2y&  &= 3 \\ \text{III)} &  &y& + z &= 1 \end{array}\)

wird reduziert zur Matrix

\(\begin{array} {ccc|c} 2 & 1 &  -1 & 0 \\  2 & -2 &  0 & 3 \\ 0  & 1 & 1 &  1 \end{array}\)

Bei der Verwendung verschiedener Matrizen (Mehrzahl von Matrix), ist es üblich, die Matrix in Klammern zu setzen:

\(\left(\begin{array} {ccc|c} 2 & 1 &  -1 & 0 \\  2 & -2 &  0 & 3 \\ 0  & 1 & 1 &  1 \end{array}\right)\)

Was ist ein homogenes bzw. inhomogenes Gleichungssystem?

Setzt man für alle Variablen in allen Gleichung den Wert 0 ein, so ist das Gleichungssystem

  • homogen, wenn dabei alle Gleichungen zu wahren Aussagen werden.
  • inhomogen, wenn dabei alle Gleichungen zu falschen Aussagen werden.

Ein Gleichungssystem heißt folglich genau dann

  • homogen, wenn alle darin enthaltenen Gleichungen homogen sind.
  • inhomogen, sobald mindestens eine der darin enthaltenen Gleichungen nicht homogen ist.

In der Matrix-Darstellung erkennt man, dass ein Gleichungssystem

  • homogen ist, wenn in der rechten Spalte nur Nuller stehen.
  • inhomogen ist, wenn in der rechten Spalte mindestens eine Zahl steht, die nicht Null ist.

Beispiel:

Das Gleichungssystem

\(\begin{array}{rrrrl} \text{I)} & 2x&+ y& – z &= 0 \\ \text{II)} & 2x&- 2y&  &= 3 \\ \text{III)} &  &y& + z &= 1 \end{array}\)

ist inhomogen, denn in der Matrix-Darstellung

\(\begin{array} {ccc|c} 2 & 1 &  -1 & 0 \\  2 & -2 &  0 & 3 \\ 0  & 1 & 1 &  1 \end{array}\)

stehen in der rechten Spalte nicht nur Nuller.

Das Gleichungssystem

\(\begin{array}{rrrrl} \text{I)} & 3x&- 2y&+ z &= 0 \\ \text{II)} & 2x&+ 3y&- 4z &= 0 \\ \text{III)} &  5x &+ y&- 3z &= 0 \end{array}\)

ist homogen, denn in der Matrix-Darstellung

\(\begin{array} {ccc|c} 3 & -2 &  1 & 0 \\  2 & 3 & -4 & 0 \\ 5  & 1 & -3  &  0 \end{array}\)

stehen in der rechten Spalte nur Nuller.

Was ist ein unterbestimmtes bzw. überbestimmtes Gleichungssystem?

Ein Gleichungssystem heißt

  • unterbestimmt, wenn die Anzahl der Gleichungen kleiner als die Anzahl der vorkommenden Variablen ist.
  • überbestimmt, wenn die Anzahl der Gleichungen größer als die Anzahl der vorkommenden Variablen ist.

In einem unterbestimmten Gleichungssystem liegen „zu wenige Informationen vor“, was die Chance erhöht, dass über eine der Variablen keine Aussage gemacht wird und somit beliebige Werte für diese Variable gewählt werden dürften.

In einem überbestimmten Gleichungssystem liegen „mehr Informationen als nötig“ vor, was die Chance erhöht, dass eine dieser Informationen „querschießt“ (also einer der anderen Informationen widerspricht).

Beispiel:

Das Gleichungssystem

\(\begin{array}{rrrrl} \text{I)} & 2x &- 3y &+ z &= 4 \\ \text{II)} & 3x &+ y &+ z  &= -1\end{array}\)

ist unterbestimmt, denn es besitzt weniger Gleichungen als Variablen.

Das Gleichungssystem

\(\begin{array}{rrrl} \text{I)} & 2k &- 3m &= 8 \\ \text{II)} & k &+ 2m  &= -3 \\ \text{III)} &  – k &- 4m &= 7 \end{array}\)

ist überbestimmt, denn es besitzt mehr Gleichungen als Variablen.

Was ist die Grundmenge eines Gleichungssystems?

Treten in einem Gleichungssystem verschiedene Variablen auf, so muss für jede Variable geklärt werden, aus welcher Menge die Werte stammen dürfen, die für die Variablen eingesetzt werden dürfen.

Die Grundmenge listet jeweils alle Kombinationen der Werte für die verschiedenen Variablen in Form von Tupeln (geordneten Mengen, pro Variable jeweils ein Eintrag) auf, die eingesetzt werden dürfen, egal, ob durch das Einsetzen in ALLE VORLIEGENDEN GLEICHUNGEN gleichzeitig wahre oder falsche Aussagen entstehen.

Beispiel:

Ist für das Gleichungssystem

\(\begin{array}{rrrrl} \text{I)} & 2x\ &+ 2y &+ 3z &= 5 \\ \text{II)} & 5x\ &- 2y &+ z  &= -4 \\ \text{III)} & 3x\ &+ 4y &- 2z  &= -5 \end{array}\)

die Grundmenge  \(G= {\rm I\!N}^3\) vorgegeben, so dürfen für die Variablen \(x\), \(y\)  und  \(z\)  nur natürliche Zahlen eingesetzt werden.

So liegt z.B. das Tripel  \((2; 1; 3)\)  in \({\rm I\!N}^3\).

Aber die Tripel  \((-1; \tfrac{1}{2}; 2)\)  und  \((2; 1; -1)\)  liegen nicht in  \({\rm I\!N}^3 ,\) da negative Zahlen und echte Brüche keine natürlichen Zahlen sind.

Was ist eine Lösung eines Gleichungssystems?

Ein Element aus der Grundmenge des Gleichungssystems ist nur eine Lösung des Gleichungssystems, wenn es eine Lösung von ALLEN zum Gleichungssystem gehörenden Gleichungen ist.

Es kann vorkommen, dass ein Gleichungssystem keine Lösung besitzt.

Beispiel:

Das Gleichungssystem

\(\begin{align} \text{I)} && 2\ x\ &&+ 2\ y &&+ 3\ z &= 5 \\ \text{II)} && 5\ x\ &&- 2\ y &&+ \ z  &= -4 \\ \text{III)} && 3\ x\ &&+ 4\ y &&- 2\ z  &= -5 \end{align}\)

mit der Grundmenge  \(G= \R^3\) besitzt die Lösung \((-1; \tfrac{1}{2}; 2)\),  denn für \(x=-1\), \(y=\tfrac{1}{2}\)  und  \(z=2\)  werden alle 3 Gleichungen zu wahren Aussagen:

\(\begin{align} \text{I)} && 2\cdot (-1)\ &&+ 2\cdot\tfrac{1}{2} &&+ 3\cdot 2 &= 5 \\ \text{II)} && 5\cdot (-1)\ &&- 2\cdot\tfrac{1}{2} &&+ \ 2  &= -4 \\ \text{III)} && 3\cdot (-1)\ &&+ 4\cdot\tfrac{1}{2} &&- 2\cdot 2  &= -5 \end{align}\)

Was ist eine Lösungsmenge eines Gleichungssystems?

Fasst man alle Lösungen des Gleichungssystems in einer Menge zusammen, so wird diese Menge als Lösungsmenge  \(L\)  des Gleichungssystems bezeichnet.

Wenn ein Gleichungssystem keine Lösung besitzt, so ist die Lösungsmenge die sog. leere Menge, also \(L = \{\ \}\).

Für die Anzahl der Lösungen, die in der Lösungsmenge \(L\) aufgelistet sind, gibt es die Schreibweise  \(|L|\). Man liest diese Schreibweise mit den Worten „Mächtigkeit von \(L\)“.

  • Die Schreibweise  \(|L|=0\)  bedeutet, dass die Lösungsmenge leer ist.
  • Die Schreibweise  \(|L|=1\)  bedeutet, dass das Gleichungssystem genau eine einzige Lösung besitzt.
  • Die Schreibweise  \(|L|=\infty\)  bedeutet, dass das Gleichungssystem unendlich viele Lösungen besitzt.

Beispiele:

a) Das Gleichungssystem

\(\begin{array}{rrrrl}\text{I)} & 2x & +y & -z & =1  \\ \text{II)} & x & {} & +2z & =0 \\ \text{III)} & 3x & +y & +z & =2 \\ \end{array}\)

mit  \(G= \R^3\)  besitzt die Lösungsmenge  \(L=\{\ \}\).

b) Das Gleichungssystem

\(\begin{array}{rrrrl} \text{I)} & x & +y & {} & =0 \\  \text{II)} & {} & y & +z & =0 \\ \text{III)} & x & {} & +z & =0 \\ \end{array}\)

mit  \(G= \R^3\)  besitzt die Lösungsmenge  \(L=\{(0; 0; 0)\}.\)

Bemerkung:

Die Lösung  \((0; 0; 0)\)  heißt auch triviale Lösung.

c) Das Gleichungssystem

\(\begin{array}{rrrrl} \text{I)} & 2x & +y & -z & =0  \\  \text{II)} & 2x & +2y & {} & =0  \\   \text{III)} & {} & -y & -z & =0  \\ \end{array}\)

mit  \(G= \R^3\)  besitzt die Lösungsmenge  \(L=\{(x; – x; x)\ |\ x\in \R \}.\)

Weiter
Zurück