Ebenengleichung (Koordinatenform)

Überblick zu den Inhalten in diesem Kapitel

\(\require{color}\definecolor{energy}{RGB}{114,0,172}\newcommand{\R}{{\rm I\!R}} \newcommand{\vvv}[3]{\left(\begin{array}{c} {#1}\\[-1em]{#2}\\[-1em]{#3} \end {array}\right) }\newcommand{\vv}[2]{\left(\begin{array}{c} {#1}\\[-1em] {#2} \end {array}\right) }\renewcommand{\vec}[2][black]{{\color{#1}{\overrightarrow{#2}}}}\newcommand{\MMM}[3]{\left(\begin{array}{rrr|r} #1\\ #2\\ #3\end{array}\right)}\)Im letzten Kapitel haben Sie gelernt, dass man eine Ebene  \(E\)  im 3-dimensionalen Raum dadurch beschreiben kann, dass man eine „Formel“ für die Ortsvektoren aller Punkte der Ebene  \(E\)  angibt.

Ist  \(X\) ein Punkt der Ebene  \(E\), so lässt sich sein Ortvektor  \(\vec{OX}\)  als Summe

  • eines Aufhängevektors  \(\vec{OA}\)  und
  • zweier Richtungsvektoren  \(\vec{r_1}\)  und  \(\vec{r_2}\), die linear unabhängig sind und beide jeweils durch einen Parameter beliebig skaliert werden dürfen,

darstellen: \(\vec{OX}=\vec{OA}+k\cdot\vec{r_1}+\ell\cdot\vec{r_2}\),
\(\phantom{\text{darstellen}}\)wobei  \(k,\ \ell\in\R\)  frei wählbar sind.

Die „Formel“ für den Ortsvektor  \(\vec{OX}\)  des Punkts  \(X\)  haben wir „Parameterform der Ebenengleichung“ genannt.

In diesem Kapitel lernen Sie, dass sich die Punkte einer Ebene  \(E\)  im 3-dimensionalen Raum auch alle durch eine lineare, vektorfreie Gleichung mit den Variablen  \(x\),  \(y\)  und  \(z\)  beschreiben lassen (z.B.  \(-2x+4y-5z=10\)).

 

 

Wozu noch eine Art von Ebenengleichungen?

Die Verwendung einer solchen linearen, vektorfreien Ebenengleichung verkürzt folgende Vorgänge deutlich:

  • die Überprüfung, ob ein Punkt in der Ebene liegt
  • die Ermittlung der Koordinaten der Achsenschnittpunkte der Ebene
  • die Untersuchung der Lage der Ebene im Koordinatensystem
  • die Ermittlung der Schnittmenge einer Ebene  mit anderen Ebenen oder Geraden

Besondere Ebenen: die Koordinatenebenen

Im 3-dimensionalen kartesischen Koordinatensystem gibt es 3 Ebenen, die jeweils 2 der Koordinatenachsen enthalten:

a) Die x-y-Koordinatenebene  \(\color{blue}E_{\large{xy}}\)

  • Sie enthält die x-Achse und die y-Achse.
  • \(\color{blue}E_{\large{xy}}\)  ist die Menge aller Punkte,
    deren \(z\)-Koordinaten den Wert 0 haben:
  • \({\color{blue}E_{\large{xy}}} = \{ P(x|y|z)\ |\ z = 0\}\)

b) Die x-z-Koordinatenebene  \(\color{green}E_{\large{xz}}\)

  • Sie enthält die x-Achse und die z-Achse.
  • \(\color{green}E_{\large{xz}}\)  ist die Menge aller Punkte,
    deren \(y\)-Koordinaten den Wert 0 haben:
  • \({\color{green}E_{\large{xz}}} = \{ P(x|y|z)\ |\ y = 0\}\)

c) Die y-z-Koordinatenebene  \(\color{darkorange}E_{\large{yz}}\)

  • Sie enthält die y-Achse und die z-Achse.
  • \(\color{darkorange}E_{\large{yz}}\)  ist also die Menge aller Punkte,
    deren \(x\)-Koordinaten den Wert 0 haben:
  • \({\color{darkorange}E_{\large{yz}}} = \{ P(x|y|z)\ |\ x = 0\}\)
 

 

Alle 3 Koordinatenebenen können jeweils durch eine sehr einfache Gleichung beschrieben werden.

Die Idee dahinter ist, dass die Gleichungen eine Aussage über die KOORDINATEN der Punkte machen, die in der jeweiligen Ebene liegen.

Alle Punkte des 3-dimensionalen Koordinatensystems, deren Koordinaten

  • die Gleichung  \(z = 0\)  erfüllen, liegen in \({\color{blue}E_{\large{xy}}}\).
  • die Gleichung  \(y = 0\)  erfüllen, liegen in \({\color{green}E_{\large{xz}}}\).
  • die Gleichung  \(x = 0\)  erfüllen, liegen in \({\color{darkorange}E_{\large{yz}}}\).

Aufgaben

Auch die folgenden Gleichungen beschreiben jeweils eine Ebene im 3-dimensionalen Koordinatensystem.

Formulieren Sie in eigenen Worten möglichst genau, wie diese Ebenen im Koordinatensystem liegen.

a)  Ebene \(E:\)  \(z = 1\).

b)  Ebene \(G:\)  \(x + 2=1\).

c)  Ebene \(F:\)  \(2y\,{-}\,4= 0\).

Alle Punkte des 3-dimensionalen Koordinatensystems, deren Koordinaten die Gleichung  \(z = 1\)  erfüllen,

  • liegen in einer Ebene  \(E\),
  • die echt parallel zur x-y-Koordinatenebene  \({\color{blue}E_{\large{xy}}}\)  ist und
  • die  \(z\)-Achse im Punkt  \((0|0|1)\)  schneidet.

b) Alle Punkte des 3-dimensionalen Koordinatensystems, deren Koordinaten die Gleichung  \(x + 2 = 1\)  erfüllen,

  • liegen in einer Ebene  \(F\),
  • die echt parallel zur y-z-Koordinatenebene  \({\color{darkorange}E_{\large{yz}}}\)  ist und
  • die  \(x\)-Achse im Punkt  \((-1|0|0)\)  schneidet.

c) Alle Punkte des 3-dimensionalen Koordinatensystems, deren Koordinaten die Gleichung  \(2y\,{-}\,4= 0\)  erfüllen,

  • liegen in einer Ebene  \(G\),
  • die echt parallel zur x-z-Koordinatenebene  \({\color{green}E_{\large{xy}}}\)  ist und
  • durch die  \(y\)-Achse im Punkt  \((0|2|0)\)  schneidet.

Die Ebene als graphische Darstellung der Lösungsmenge einer linearen Gleichung

Gibt man in Geogebra eine Gleichung der Form  \(A\!\cdot\!x + B\!\cdot\!y +C\!\cdot\!z = D\)  ein, so zeichnet Geogebra den Ausschnitt einer Ebene.

Die „Reaktion“ auf eine Gleichung sollte ja eigentlich eine Lösungsmenge sein. Die Vermutung liegt also nahe, dass Geogebra die Lösungsmenge der Gleichung graphisch darstellt, und zwar in Gestalt einer Ebene. Die Frage, warum das so ist, untersuchen wir weiter unten.

Zunächst einmal wollen wir ein paar erste Eindrücke darüber sammeln,

  • wie sich die dargestellte Ebene verändert,
  • wenn wir die jeweilige lineare Gleichung verändern.

In dem nebenstehenden Applet können Sie die Werte von  \(A\),  \(B\),  \(C\) und  \(D\)  verändern und ihren Einfluss auf die Lage der Ebene beobachten.

Versuchen Sie, anhand Ihrer Beobachtungen die folgenden Fragen zu beantworten.

 

 

Fragen

1) Welche Bedeutung haben die Punkte  \(\color{red}X_0\),  \(\color{red}Y_0\)  und  \(\color{red}Z_0\)?

Die Punkte  \(\color{red}X_0\),  \(\color{red}Y_0\)  und  \(\color{red}Z_0\)  sind die Schnittpunkte der Ebene mit den Koordinatenachsen.

2) Welche Auswirkung hat eine Veränderung des Werts von  \(D\)?

Verändert man den Wert von  \(D\), so wird die Ebene parallel verschoben .

Spezialfall:

Nur, wenn \(D\)  den Wert 0 hat, so verläuft die Ebene durch den Ursprung des Koordinatensystems.

3) Was verändert sich NICHT an der Ebene,

a) wenn man nur den Wert von  \(A\)  verändert?
b) wenn man nur den Wert von  \(B\)  verändert?
c) wenn man nur den Wert von  \(C\)  verändert?

a) Verändert man den Wert von  \(A\), so behalten die Achsenschnittpunkte  \(\color{red}Y_0\)  und  \(\color{red}Z_0\)  ihre Position bei.

b) Verändert man den Wert von  \(B\), so behalten die Achsenschnittpunkte  \(\color{red}X_0\)  und  \(\color{red}Z_0\)  ihre Position bei.

c) Verändert man den Wert von  \(C\), so behalten die Achsenschnittpunkte  \(\color{red}X_0\)  und  \(\color{red}Y_0\)  ihre Position bei.

Wieso kann man die Lösungsmenge einer linearen Gleichung als Ebene darstellen?

Um die Antwort auf diese Frage zu finden, versuchen wir zunächst, die Lösungsmenge einer solchen Gleichung rechnerisch zu ermitteln – wir werden sehen, dass wir der Lösungsmenge dann tatsächlich ansehen lönnen, dass sie eine Ebene beschreibt!

Die Gleichung  \(A\!\cdot\!x + B\!\cdot\!y +C\!\cdot\!z = D\)  ist

  • eine lineare Gleichung
  • mit den 3 Variablen x, y, z.

Somit sind 2 der Variablen auf jeden Fall frei wählbar.

Wenn  \(A\)  nicht 0  ist, können wir die Gleichung nach  \(x\)  auflösen. Damit sind  \(y\)  und  \(z\)  die frei wählbaren Varibalen. Wir wählen für

  • für  \(y\)  den Wert  \(k\)  und
  • für  \(z\)  den Wert  \(\ell\),

lösen die Gleichung nach  \(x\)  auf und ergänzen die Informationen über  \(y\)  und  \(z\).

\(\phantom{\Rightarrow\quad }A\!\cdot\!x + B\!\cdot\!y +C\!\cdot\!z = D\)

\(\Rightarrow\quad x = \frac{D}{A}\,{-}\,y\!\cdot\!\frac{B}{A}\,{-}\,z\!\cdot\!\frac{C}{A}\),   wobei  \(y, z\in\R\)

Sortierte Auflistung der Informationen:

\(x = \frac{D}{A}\,{-}\,k\!\cdot\!\frac{B}{A}\,{-}\,\ell\!\cdot\!\frac{C}{A}\)
\(y = k\)
\(z =\ell\)

Es lohnt sich, die Informationen über  \(x\),  \(y\)  und  \(z\)  in Form eines Vektors  \(\vvv{x}{y}{z}\)  darzustellen.

\(\vvv{x}{y}{z} = \vvv{\frac{D}{A}\,{-}\,k\!\cdot\!\frac{B}{A}\,{-}\,\ell\!\cdot\!\frac{C}{A}}{k}{\ell}\)

Den Vektor auf der rechten Seite zerlegen wir in eine Summe aus 3 Vektoren:

  • einen konstanten Vektor,
  • einen Vektor, der nur  \(k\)  enthält, und
  • einen Vektor, der nur  \(\ell\)  enthält.

\(\vvv{x}{y}{z} = \vvv{\frac{D}{A}}{0}{0}\!+\!\vvv{-k\!\cdot\!\frac{B}{A}}{k}{0}\!+\!\vvv{-\ell\!\cdot\!\frac{C}{A}}{0}{\ell}\)

Aus den hinteren beiden Vektoren ziehen wir nun jeweils den Parameter  \(k\)  bzw.  \(\ell\) und können schließlich erkennen, dass die Parameterform einer Ebenengleichung vorliegt.

Da die Parameter  \(k\)  und  \(\ell\)  beide beliebig wählbar sind, entspricht folglich jeder Punkt dieser Ebene genau einer Lösung der Gleichung  \(A\!\cdot\!x + B\!\cdot\!y +C\!\cdot\!z = D\).

\(\vvv{x}{y}{z} = \vvv{\frac{D}{A}}{0}{0}\!+\!k\!\cdot\!\vvv{-\frac{B}{A}}{1}{0}\!+\!\ell\!\cdot\!\vvv{-\frac{C}{A}}{0}{1}\)

Aufgaben (Herleitung für  \(B\neq 0\)  und für  \(C\neq 0\))

Leiten Sie aus der linearen Gleichung  \(A\!\cdot\!x + B\!\cdot\!y +C\!\cdot\!z = D\)  die Parameterform der Ebenengleichung her für den Fall, dass der Aufgabensteller jeweils nur garantiert:

\(B\)  ist nicht 0.

Wenn  \(B\)  nicht 0  ist, können wir die Gleichung nach  \(y\)  auflösen.

\(\Rightarrow\quad y = \frac{D}{B}\,{-}\,x\!\cdot\!\frac{A}{B}\,{-}\,z\!\cdot\!\frac{C}{B}\),   wobei  \(y, z\in\R\)

Diesmal sind  \(x\)  und  \(z\)  die frei wählbaren Varibalen. Wir wählen für

  • für  \(x\)  den Wert  \(p\)  und
  • für  \(z\)  den Wert  \(q\),

Sortierte Auflistung der Informationen:

\(x = p\)
\(y = \frac{D}{B}\,{-}\,p\!\cdot\!\frac{A}{B}\,{-}\,q\!\cdot\!\frac{C}{B}\)
\(z =q\)

Die vektorielle Darstellung und Zerlegung des Vektors auf der rechten Seite führt schließlich zur Parameterform der Ebenengleichung:

\(\vvv{x}{y}{z} = \vvv{0}{\frac{D}{B}}{0}\!+\!p\!\cdot\!\vvv{1}{-\frac{A}{B}}{0}\!+\!q\!\cdot\!\vvv{0}{-\frac{C}{B}}{1}\)

 \(C\)  ist nicht 0.

Wenn  \(C\)  nicht 0  ist, können wir die Gleichung nach  \(z\)  auflösen.

\(\Rightarrow\quad z = \frac{D}{C}\,{-}\,x\!\cdot\!\frac{A}{C}\,{-}\,z\!\cdot\!\frac{B}{C}\),   wobei  \(x, y\in\R\)

Diesmal sind  \(x\)  und  \(y\)  die frei wählbaren Varibalen. Wir wählen für

  • für  \(x\)  den Wert  \(r\)  und
  • für  \(y\)  den Wert  \(s\),

Sortierte Auflistung der Informationen:

\(x = r\)
\(y = s\)
\(z = \frac{D}{C}\,{-}\,r\!\cdot\!\frac{A}{C}\,{-}\,s\!\cdot\!\frac{B}{C}\)

Die vektorielle Darstellung und Zerlegung des Vektors auf der rechten Seite führt schließlich zur Parameterform der Ebenengleichung:

\(\vvv{x}{y}{z} = \vvv{0}{0}{\frac{D}{C}}\!+\!r\!\cdot\!\vvv{1}{0}{-\frac{A}{C}}\!+\!s\!\cdot\!\vvv{0}{1}{-\frac{B}{C}}\)

Aufgaben

Wenn  \(A\),  \(B\)  und  \(C\)  alle nicht 0  sind, hat man die freie Auswahl, ob man die Gleichung  \(A\!\cdot\!x + B\!\cdot\!y +C\!\cdot\!z = D\)  nach  \(x\),  \(y\)  oder  \(z\)  auflöst. Jenachdem, wie man sich entscheidet, erhält man eine der nebenstehenden Ebenengleichungen in Parameterform.

  • \(\vvv{x}{y}{z} = \vvv{\frac{D}{A}}{0}{0}\!+\!k\!\cdot\!\vvv{-\frac{B}{A}}{1}{0}\!+\!\ell\!\cdot\!\vvv{-\frac{C}{A}}{0}{1}\)
  • \(\vvv{x}{y}{z} = \vvv{0}{\frac{D}{B}}{0}\!+\!p\!\cdot\!\vvv{1}{-\frac{A}{B}}{0}\!+\!q\!\cdot\!\vvv{0}{-\frac{C}{B}}{1}\)
  • \(\vvv{x}{y}{z} = \vvv{0}{0}{\frac{D}{C}}\!+\!r\!\cdot\!\vvv{1}{0}{-\frac{A}{C}}\!+\!s\!\cdot\!\vvv{0}{1}{-\frac{B}{C}}\)

a) Zeigen Sie, dass jeweils 2 der 6 Richtungsvektoren kollinear (also jeweils Vielfache voneinander) sind.

Je 2 der Richtungsvektoren sind kollinear (d.h. sie sind jeweils Vielfache desselben Vektors):

\(A\!\cdot\!\vvv{-\frac{B}{A}}{1}{0}\) \(= -B\!\cdot\!\vvv{1}{-\frac{A}{B}}{0}\) \(= \vvv{-B}{A}{0}\)

\(A\!\cdot\!\vvv{-\frac{C}{A}}{0}{1}\) \(=-C\!\cdot\!\vvv{1}{0}{-\frac{A}{C}}\) \(=\vvv{-C}{0}{A}\)

\(B\!\cdot\!\vvv{0}{-\frac{C}{B}}{1}\) \(=-C\!\cdot\!\vvv{0}{1}{-\frac{B}{C}}\) \(=\vvv{0}{-C}{B}\)

b) Zeigen Sie, dass 3 der Richtungsvektoren, die NICHT paarweise kollinear sind, trotzdem komplanar sind.

3 Vektoren sind linear abhängig, wenn sich einer als Linearkombination der beiden anderen darstellen lässt.

Für \(\vvv{-\frac{B}{A}}{1}{0}\),  \(\vvv{-\frac{C}{A}}{0}{1}\),  \(\vvv{0}{-\frac{C}{B}}{1}\) gilt:

\(\vvv{-\frac{B}{A}}{1}{0}\) \(=\frac{B}{C}\!\cdot\!\vvv{-\frac{C}{A}}{0}{1}{-}\frac{B}{C}\!\cdot\!\vvv{0}{-\frac{C}{B}}{1}\)

Also sind die 3 Vektoren linear abhängig.

c) Begründen Sie, dass alle 3 Ebenengleichungen dieselbe Ebene beschreiben.

Jeder Punkt der Ebene entspricht einer Lösung der Gleichung  \(A\!\cdot\!x + B\!\cdot\!y +C\!\cdot\!z = D\).

Da alle drei Parameterformen eine vektorielle Beschreibungen der Lösungsmenge von ein und derselben Gleichung sind, müssen sie alle dieselbe Ebene beschreiben.

Zusammenfassung

  • Alle Punkte  \(X(x|y|z)\), deren Koordinaten beim Einsetzen in die Gleichung  \(A\!\cdot\!x + B\!\cdot\!y +C\!\cdot\!z = D\)  zu einer wahren Aussage führen, liegen alle in einer gemeinsamen Ebene.
  • Liegt ein Punkt  \(X(x|y|z)\)  in dieser Ebene, so führt das Einsetzen seiner Koordinaten in die Gleichung  \(A\!\cdot\!x + B\!\cdot\!y +C\!\cdot\!z = D\)  zu einer wahren Aussage.
  • Da die Gleichung  \(A\!\cdot\!x + B\!\cdot\!y +C\!\cdot\!z = D\)  für jeden Punkt  \(X(x|y|z)\)  einer gemeinsamen Ebene einen direkten Zusammenhang zwischen seinen Koordinaten  \(x\), \(y\)  und  \(z\)  beschreibt, wird sie auch „Koordinatenform der Ebenengleichung“ genannt.
  • Weitere Bezeichnungen sind „Koordinatengleichung der Ebene„, „Parameterfreie Form der Ebenengleichung„, „Vektorfreie Form der Ebenengleichung„.

Beispielaufgabe zum Umwandeln der Koordinatenform in die Parameterform einer Ebenengleichung

Eine Ebene wird durch die Koordinatengleichung  \(3x + 4y + 2z = 12\)   beschrieben. Ermitteln Sie eine mögliche Parameterform einer Gleichung dieser Ebene.

Nach  \(z\)  auflösen (weil man dann nur durch 2 teilen muss):  \(3x + 4y + 2z = 12\quad\Rightarrow\quad z = 6\,{-}\,\frac{3}{2}x\,{-}\,2y\)

Also sind  \(x\)  und  \(y\)  frei wählbar. Wir wählen  \(x = k\)  und  \(y = \ell\).

Sortierte Auflistung:

\(x = k\)
\(y = \ell\)
\(z = 6\,{-}\,\frac{3}{2}k\,{-}\,2\ell\)

Vektorielle Darstellung:

\(\vvv{x}{y}{z} = \vvv{k}{\ell}{6\,{-}\,\frac{3}{2}k\,{-}\,2\ell}\)

Zerlegung des Vektors auf der rechten Seite:

\(\vvv{x}{y}{z} = \vvv{0}{0}{6}\!+\!\vvv{k}{0}{-\frac{3}{2}\!\cdot\!k}\!+\!\vvv{0}{\ell}{-2\!\cdot\!\ell}\)

Herausziehen der Parameter führt schließlich zur Parameterform der Ebenengleichung:

\(\vvv{x}{y}{z} = \vvv{0}{0}{6}\!+\!k\!\cdot\!\vvv{1}{0}{-\frac{3}{2}}\!+\!\ell\!\cdot\!\vvv{0}{1}{-2}\)

Untersuchen Sie, ob der Punkt  \(P(2|1|1)\)  auf der Ebene mit der obigen Koordinatengleichung liegt.

Der Punkt  \(P({\color{red}2}|{\color{red}1}|{\color{red}1})\)  liegt nur dann in dieser Ebene, wenn das Einsetzen seiner Koordinaten in die Gleichung  \(3x + 4y + 2z = 12\)  zu einer wahren Aussage führt.

\(3\!\cdot\!{\color{red}2} + 4\!\cdot\!{\color{red}1} + 2\!\cdot\!{\color{red}1} = 12\)  (wahre Aussage)

Also liegt der Punkt  \(P(2|1|1)\)  tatsächlich in dieser Ebene.

Aufgaben (zufällig erzeugt mit ausführlicher Lösung)

Im nebenstehenden Geogebra-Applet sollen Sie versuchen, zu verschiedenen zufällig erstellten Koordinatengleichungen von Ebenen jeweils eine Parameterform der Ebenengleichung zu ermitteln.

Sie können sich jeweils schrittweise Tipps geben lassen,

  • wenn Sie nicht weiterkommen, oder
  • wenn Sie sich die Lösung vorführen lassen wollen.

Sie können außerdem jeweils entscheiden, nach welcher Variablen Sie die Koordiantengleichung im ersten Schritt auflösen wollen.

 

 

Ermitteln der Koordinatengleichung einer Ebene

Ist eine Ebenengleichung in Parameterform vorgegeben, so kann man daraus auch eine Ebenengleichung in Koordinatenform herleiten.

In nebenstehenden Beispiel werden 2 Verfahren vorgeführt, mit denen das möglich ist. Beiden Verfahren liegt die Idee zugrunde, dass

  • ein Gleichungssystem aus 3 Gleichungen mit 5 Unbekannten (\(x\), \(y\), \(z\), \(k\) und \(\ell\))
  • auf eine Gleichung mit 3 Unbekannten (\(x\), \(y\)  und \(z\))

reduziert werden kann. Von den beiden vorgeführten Verfahren nutzt

  • eines das eine Additionsverfahren,
  • das andere die Matrix-Schreibweise und das Gauß-Verfahren

Beispiel:

\(E:  \vvv{x}{y}{z}=\vvv{-2}{-3}{-2}+k\!\cdot\!\vvv{2}{5}{-1}+\ell\!\cdot\!\vvv{1}{-1}{2}\)

Darstellung als Gleichungssystem:

\(\begin{array}{rl}\text{i)}&x=-2+2k+\ell\\ \text{ii)}&y=-3+5k\,{-}\,\ell\\ \text{iii)}&z=\ \ 2\,{-}\,k+2\ell\end{array}\)

Plan:

Additionsverfahren und \(\text{i.}\)  Gleichung verwenden, um so in der  \(\text{ii.}\)  und  \(\text{iii.}\)  Gleichung  den Parameter  \(\ell\)  verschwinden zu lassen.

\(\begin{array}{rl} \text{ii + i}: & \ y+x \ = -5+7k \\ \text{iii}\;{-}\,\text{2i}: & z\,{-}\,2x = 6-5k \end{array}\)

Jetzt lassen wir auf ähnliche Weise den Parameter  \(k\)  verschwinden

\(5\!\cdot\!\text{obere} + 7\!\cdot\!\text{untere:}\ \ 5y-9x+7z = 17 \)

Damit haben wir eine parameterfreie, lineare Gleichung gefunden:

\(\text{E:}\ \ -9x+5y+7z = 17 \)

Idee:

  • Die Parameter  \(k\),  \(\ell\)  werden nach links gebracht (Seiten tauschen!),
  • die Variablen  \(x\),  \(y\),  \(z\)  werden als „Konstanten“ auf die rechte Seite gebracht,
  • das Gleichungssystem wird als Matrix dargestellt:

\(\begin{array}{rl}\text{i)}& 2k+\ell = x+2\\ \text{ii)}& 5k\,{-}\,\ell = y+3\\ \text{iii)}& -k+2\ell=z-2\end{array}\)

\(\Rightarrow\left(\!\begin{array}{rr|r}  2 & 1 & x+2 \\ 5 & -1 & y+3 \\ -1 & 2 & z-2\end{array}  \right) \begin{array}{l} \phantom{O} \\ 2\text{ii}-5\text{i} \\ 2\text{iii}-(-1)\text{i}\end{array}\)

\(\Rightarrow\left(  \begin{array}{rr|r}  2 & 1 & x+2 \\ 0 & -7 & 2y-5x -4 \\ 0 & 5 & 2z+x-2\end{array}  \right) \begin{array}{l} \phantom{O} \\\phantom{O}\\ -2\text{iii}-5\text{ii}\end{array}\)

\(\Rightarrow\left(  \begin{array}{rr|r}  2 & 1 & x+2 \\ 0 & -7 & 2y-5x -4 \\ 0 & 0 & -14z-10y+18x+34 \end{array} \right)\)

Die letzte Zeile der Matrix ist eine parameterfreie Gleichung:  \(0=-14z-10y+18x+34\)

Sie lässt sich noch etwas vereinfachen, indem man beide Seiten durch  \(-2\)  teilt und die Konstante auf die andere Seite bringt.

Eine mögliche Koordinatengleichung der Ebene lautet:

\(\text{E:}\ \ -9x+5y+7z = 17 \)

Wichtige Hinweise

  • In einem späteren Kapitel werden wir ein schnelleres Verfahren kennenlernen, mit dem man aus der Parameterform einer Ebenengleichung eine Koordinatengleichung der Ebenengleichungen herleiten kann.
  • Mit den folgenden beiden Geogebra-Applets kann man sein Auge für die Spezialfälle schulen, in denen man selbst das „deutlich schnellere Verfahren“ nicht braucht, wenn man sie erkennt. Außerdem bieten die folgenden Applets eine gute Übung für die Anwendung des Additionsverfahrens und des Gaußverfahrens.

Aufgaben zum Umwandeln der Parameterform einer Ebenengleichung in die Koordinatenform

Im nebenstehenden Geogebra-Applet sollen Sie versuchen, zu verschiedenen zufällig erstellten Ebenengleichung in Parameterform jeweils eine Koordinatengleichung zu ermitteln.

Sie können sich jeweils schrittweise Tipps geben lassen,

  • wenn Sie nicht weiterkommen, oder
  • wenn Sie sich die Lösung vorführen lassen wollen.

Umwandeln mittels Additionsverfahren

 

 

Im nebenstehenden Geogebra-Applet sollen Sie versuchen, zu verschiedenen zufällig erstellten Ebenengleichung in Parameterform jeweils eine Koordinatengleichung zu ermitteln.

Sie können sich jeweils schrittweise Tipps geben lassen,

  • wenn Sie nicht weiterkommen, oder
  • wenn Sie sich die Lösung vorführen lassen wollen.

Umwandeln mittels Gauß-Verfahren (in Matrix-Form)

 

 

Weiter
Zurück