Möglichkeiten zur Berechnung der Koordinaten aller Punkte einer Ebene

\(\require{color}\definecolor{energy}{RGB}{114,0,172}\newcommand{\R}{{\rm I\!R}} \newcommand{\vvv}[3]{\left(\begin{array}{c} {#1}\\[-1em]{#2}\\[-1em]{#3} \end {array}\right) }\newcommand{\vv}[2]{\left(\begin{array}{c} {#1}\\[-1em] {#2} \end {array}\right) }\renewcommand{\vec}[2][black]{{\color{#1}{\overrightarrow{#2}}}}\newcommand{\MMM}[3]{\left(\begin{array}{rrr|r} #1\\ #2\\ #3\end{array}\right)}\)

Erste Beobachtung einer Ebene im 3-dimensionalen Koordinatensystem

Im folgenden Geogebra-Applet wird ein Ausschnitt einer Ebene  \(\color{blue}{E}\)  in Gestalt eines blauen Vierecks dargestellt. Die Ebene \(\color{blue}{E}\)  selbst ist tatsächlich aber unbegrenzt, wovon man evtl. einen Eindruck bekommt, wenn man in dem Geogebra-Applet aus der Graphik herauszoomt (Applet zuerst einmal anklicken, dann Strg-Taste gedrückt halten und Mausrad drehen).

Genauere Überlegungen zur Definition und zur mathematischen Beschreibung einer Ebene folgen weiter unten.

In dem Geogebra-Applet können Sie

  • die Perspektive mithilfe der Maus verändern.
  • durch Anklicken der Schaltfläche [Neu] eine neue zufällige Position der Punkte  \(\color{blue}{A}\),  \(\color{blue}{B}\),  \(\color{blue}{C}\)  erzeugen.
  • durch Anklicken der Auswahlfelder [\(\color{blue}{E}\)], [\(\color{red}{X_0}\), \(\color{red}{Y_0}\), \(\color{red}{Z_0}\)], [\(\color{energy}{s}\)] zusätzliche geometrische Elemente ein- bzw. ausblenden.
  • die Punkte  \(\color{blue}{A}\),  \(\color{blue}{B}\),  \(\color{blue}{C}\)  mithilfe der Maus verschieben.
 

 

Fragen zum geometrischen Verständnis

Sie können die Punke  \(\color{red}{X_0}\),  \(\color{red}{Y_0}\)  und  \(\color{red}{Z_0}\), die in der Ebene  \(\color{blue}{E}\)  enthalten sind, zusätzlich einblenden. Welche besondere Lage haben diese Punkte  \(\color{red}{X_0}\),  \(\color{red}{Y_0}\)  und  \(\color{red}{Z_0}\)  im Koordinatensystem?

Die Punkte  \(\color{red}{X_0}\),  \(\color{red}{Y_0}\)  und  \(\color{red}{Z_0}\)  liegen jeweils auf den Koordinaten-Achsen (also x-Achse, y-Achse, z-Achse). Es handelt sich um die sog. „Achsenschnittpunkte“ der Ebene:

  • \(\color{red}{X_0}\)  ist der Schnittpunkt der Ebene  \(\color{blue}{E}\)  mit der x-Achse.
  • \(\color{red}{Y_0}\)  ist der Schnittpunkt der Ebene  \(\color{blue}{E}\)  mit der y-Achse.
  • \(\color{red}{Z_0}\)  ist der Schnittpunkt der Ebene  \(\color{blue}{E}\)  mit der z-Achse.

Welche besondere Lage muss die Ebene  \(\color{blue}{E}\)  haben, damit einer der Punkte  \(\color{red}{X_0}\),  \(\color{red}{Y_0}\)  oder  \(\color{red}{Z_0}\)  nicht exisitiert?

Wenn die Ebene  \(\color{blue}{E}\)  zu einer Koordinaten-Achse echt parallel ist, kann sie diese Koordinaten-Achse nicht schneiden. Folglich kann es dann auch keinen entsprechenden Achsenschnittpunkt geben:

  •  \(\color{red}{X_0}\)  existiert nicht, wenn  \(\color{blue}{E}\)  echt parallel zur x-Achse ist.
  •  \(\color{red}{Y_0}\)  existiert nicht, wenn  \(\color{blue}{E}\)  echt parallel zur y-Achse ist.
  •  \(\color{red}{Z_0}\)  existiert nicht, wenn  \(\color{blue}{E}\)  echt parallel zur z-Achse ist.

Sie können die Geraden  \(\color{energy}{s_{xy}}\),  \(\color{energy}{s_{xz}}\)  und  \(\color{energy}{s_{yz}}\), die jeweils vollständig in der Ebene  \(\color{blue}{E}\)  enthalten sind, zusätzlich einblenden. Welche besondere Lage haben diese Geraden  \(\color{energy}{s_{xy}}\),  \(\color{energy}{s_{xz}}\)  und  \(\color{energy}{s_{yz}}\)  im Koordinatensystem?

Es handelt sich um die sog. „Spurgeraden“ der Ebene.

  •  \(\color{energy}{s_{xy}}\)  ist die Schnittgerade der Ebene  \(\color{blue}{E}\)  mit der sog. Koordinatenebene  \(\color{blue}{E_{xy}}\) (welche die x-Achse und die y-Achse enthält).
  •  \(\color{energy}{s_{xz }}\)  ist die Schnittgerade der Ebene  \(\color{blue}{E}\)  mit der sog. Koordinatenebene  \(\color{blue}{E_{xz}}\) (welche die x-Achse und die z-Achse enthält).
  • \(\color{energy}{s_{yz}}\)  ist die Schnittgerade der Ebene  \(\color{blue}{E}\)  mit der sog. Koordinatenebene  \(\color{blue}{E_{yz}}\)  (welche die y-Achse und die z-Achse enthält).

Welche besondere Lage hat eine der Geraden  \(\color{energy}{s_{xy}}\),  \(\color{energy}{s_{xz}}\)  oder  \(\color{energy}{s_{yz}}\), wenn die Ebene  \(\color{blue}{E}\)  parallel zu einer der Koordinaten-Achsen verläuft?

Wenn  \(\color{blue}{E}\)  parallel zu einer der Koordinaten-Achsen ist, sind 2 der Spurgeraden ebenfalls parallel zu dieser Koordinaten-Achse.

  • Ist  \(\color{blue}{E}\)  parallel zur x-Achse, so verlaufen auch  \(\color{energy}{s_{xy}}\)  und  \(\color{energy}{s_{xz}}\)  parallel zur x-Achse.
  • Ist  \(\color{blue}{E}\)  parallel zur y-Achse, so verlaufen auch  \(\color{energy}{s_{xy}}\)  und  \(\color{energy}{s_{yz}}\)  parallel zur y-Achse.
  • Ist  \(\color{blue}{E}\)  parallel zur z-Achse, so verlaufen auch  \(\color{energy}{s_{xz}}\)  und  \(\color{energy}{s_{yz}}\)  parallel zur z-Achse.

Ebenen im dreidimensionalen Raum

In der Geometrie versteht man unter einer Ebene im dreidimensionalen Raum ein Objekt,

  • das aus unendlich vielen Punkten besteht,
  • das räumlich unbegrenzt ist,
  • das flach ist und
  • das zweidimenional ist.

Die „Flachheit“ einer Ebene drückt sich z.B. dadurch aus:

  • Bildet man zu vier beliebigen Punkten  \(\color{blue}A\),  \(\color{blue}B\),  \(\color{blue}C\),  \(\color{blue}D\)  die Verbindungsvektoren  \(\vec[energy]{AB}\),  \(\vec[energy]{AC}\)  und  \(\vec[energy]{AD}\), so sind diese stets linear abhängig – sofern die Punkte alle in der Ebene liegen.
  • Je zwei beliebige Geraden, die in einer Ebene enthalten sind, sind entweder echt parallel oder schneiden sich – sie können aber nicht windschief sein.

Im nebenstehenden Geogebra-Applet können Sie diese Eigenschaften beobachten.

Im nebenstehenden Geogebra-Applet können Sie

  • die Punkte  \(\color{blue}A\),  \(\color{blue}B\),  \(\color{blue}C\),  \(\color{blue}D\)  verschieben,
  • den Punkt  \(\color{blue}B\)  ein Stück aus der Ebene herausheben,
  • die Verbindungsvektoren  \(\vec[energy]{AB}\),  \(\vec[energy]{AC}\),  \(\vec[energy]{AD}\)  einblenden,
  • die Geraden  \(\color{blue}{AC}\)  und  \(\color{blue}{BD}\)  einblenden.
 

 

Fragen zur eindeutigen Festlegung einer Ebene

Überlegen Sie, warum folgende Behautpungen nicht richtig sind, und vervollständigen Sie sie zu korrekten Aussagen.

Behauptung 1:

Durch die Angabe von drei beliebigen Punkten ist eine Ebene, die diese drei Punkte enthält, eindeutig festgelegt.

Die drei Punkte dürfen nicht auf einer gemeinsamen Geraden liegen.

Die Behauptung wird erst dann allgemein korrekt, wenn sie vollständig lautet:

„Durch die Angabe von drei beliebigen Punkten, die NICHT auf einer gemeinsamen Geraden liegen, ist eine Ebene, die diese drei Punkte enthält, eindeutig festgelegt.“

Behauptung 2:

Durch die Angabe einer beliebigen Geraden und eines beliebigen Punktes ist eine Ebene, welche die Gerade und den Punkt enthält, eindeutig festgelegt.

Der Punkt darf nicht auf der Geraden liegen.

Die Behauptung wird erst dann allgemein korrekt, wenn sie vollständig lautet:

„Durch die Angabe einer beliebigen Geraden und eines beliebigen Punktes, der nicht auf der Geraden liegt, ist eine Ebene, welche die Gerade und den Punkt enthält, eindeutig festgelegt.“

Behauptung 3:

Durch die Angabe von zwei beliebigen Geraden ist eine Ebene, die beiden Geraden enthält, eindeutig festgelegt.

Die beiden Geraden dürfen nicht windschief und nicht identisch sein.

Oder mit anderen Worten: Die beiden Geraden müssen echt parallel sein oder sich in genau einem Punkt schneiden.

Die Behauptung wird erst dann allgemein korrekt, wenn sie vollständig lautet:

„Durch die Angabe von zwei beliebigen Geraden, die echt parallel sind oder sich in genau einem Punkt schneiden, ist eine Ebene, die beiden Geraden enthält, eindeutig festgelegt.“

Beschreibung der Ebenenpunkte durch ihre Ortsvektoren

Wir werden gleich sehen, dass wir für jeden Punkt  \(X\), der in der Ebene  \(\color{blue}{E}\)  liegt, seinen Ortsvektor  \(\vec{OX}\)  auf sehr einfache Weise durch eine Summe von 3 geeigneten Vektoren darstellen können.

Zu jedem Punkt  \(X\)  gehört sein Ortsvektor  \(\vec{OX}\).

Er wird definiert durch denjenigen Repräsentanten,

  • der vom Ursprung  \(O\)  des Koordinatensystems
  • zum Punkt  \(X\)

verläuft.

Das Praktische an diesem Ortsvektor  \(\vec{OX}\)  ist, dass er dieselben Koordinaten wie der Punkt  \(X\)  besitzt.

Hat der Punkt  \(X\)  die Koordinatendarstellung  \(X(x|y|z)\), so lautet die Koordinatenschreibweise seines Ortsvektor \(\vec{OX}=\vvv{x}{y}{z}\).

Z. B.:  \(X(7|11|-3)\quad\Rightarrow\quad\vec{OX}=\vvv{7}{11}{-3}\)

Wir gehen zunächst davon aus, dass 3 Punkte  \(A\),  \(B\),  \(C\) der Ebene  \(\color{blue}{E}\)  bekannt sind, die nicht alle auf einer gemeinsamen Geraden liegen.

Folglich sind die Verbindungsvektoren  \(\vec{AB}\)  und \(\vec{AC}\)  linear unabhängig.

Aufgrund der „Flachheit“ der Ebene folgt für jeden Punkt  \(X\)  der Ebene  \(\color{blue}{E}\), dass die Vektoren  \(\vec{AX}\),  \(\vec{AB}\)  und  \(\vec{AC}\)  linear abhängig sein müssen, da  \(A\),  \(B\),  \(C\)  und  \(X\)  in derselben Ebene liegen. Also muss sich der  \(\vec{AX}\)  als Linearkombination von  \(\vec{AB}\)  und  \(\vec{AC}\)  darstellen lassen.

Es gibt also reelle Zahlen  \(k\)  und  \(\ell\)  so, dass gilt:

\(\vec{AX}= k\!\cdot\!\vec{AB} + \ell\!\cdot\!\vec{AC}\).

\(\vec{AX}\)  ist der Verbindungsvektor von  \(A\)  und  \(X\).

\(\vec{AX} = \vec{OX}\,{-}\,\vec{OA}\)

Mit ein paar Umformungen erkennt man, wie sich der Ortsvektor von  \(X\)  berechnen lässt.

\(\vec{OX}\,{-}\,\vec{OA} = k\!\cdot\!\vec{AB} + \ell\!\cdot\!\vec{AC}\)

\(\vec{OX}=\vec{OA} +k\!\cdot\!\vec{AB} + \ell\!\cdot\!\vec{AC}\)

Zusammenfassung

Ein Punkt  \(X\)  liegt genau dann in der gleichen Ebene  \(\color{blue}{E}\)  wie die Punkte  \(A\),  \(B\),  \(C\), wenn es reelle Zahlen  \(k\)  und  \(\ell\)  gibt, dass für seinen Ortvektor  \(\vec{OX}\)  gilt:

\(\vec{OX}=\vec{OA} +k\!\cdot\!\vec{AB} + \ell\!\cdot\!\vec{AC}\)

Folgende Bezeichungen sind üblich:

  • Der Vektor  \(\vec{OA}\)  heißt Aufhängevektor der Ebene  \(\color{blue}{E}\).
  • Der Punkt  \(A\)  heißt Aufhängepunkt (oder auch Aufpunkt) der Ebene  \(\color{blue}{E}\).
  • Die Vektoren  \(\vec{AB}\),  \(\vec{AC}\)  heißen Richtungsvektoren der Ebene  \(\color{blue}{E}\).

Beispiel:

Verändern Sie im folgenden Geogebra-Applet die Position der Punkte  \(\color{magenta}{A}\),  \(\color{red}{B}\),  \(\color{red}{C}\), um zu beobachten, wie sich

  • die Lage der Ebene  \(\color{darkorange}{E}\),
  • die Berechnung der Richtungsvektoren der Ebene und
  • die Darstellung des Orstvektors  \(\vec{OX}\)  des Ebenen-Punkts  \(X\)

verändert (wiederholtes Anklicken eines Punktes verändert den Zustand, ob er sich in z-Richtung oder in x-y-Richtung verschieben lässt).

 

 

Eine Ebene  \(\color{darkorange}{E}\)  besteht also aus solchen Punkten  \(X\), deren Ortsvektoren sich als Summe

  • eines Aufhängevektors  \(\vec[magenta]{OA}\),
  • eines Vielfachen des Richtungsvektors  \(\vec[blue]{r_1}\)
  • und eines Vielfachen des Richtungsvektors  \(\vec[blue]{r_2}\)

darstellen lassen. Dabei sind

  • als Aufhängepunkt  \(\color{magenta}{A}\)  alle Punkte der Ebene geeignet,
  • als Richtungsvektoren  \(\vec[blue]{r_1}\),  \(\vec[blue]{r_2}\)  alle Verbindungsvektoren von je zwei Punkten der Ebene geeignet, wobei beide Richtungsvektoren linear unabhängig sein müssen.

Schreibweisen:

Beschreibung von  \(\color{darkorange}{E}\)  als Menge von Punkten:

\({\color{darkorange}{E}} = \{X\ |\ \vec{OX}=\vec{OA} +k\!\cdot\!\vec[blue]{r_1} + \ell\!\cdot\!\vec[blue]{r_2},\ k, \ell\in\R\}\)

Stärkere Betonung der Beschreibung der Ortvektoren  \(\vec{OX}\)  der Ebenenpunkte  \(X\):

\({\color{darkorange}{E}}:\vec{OX}=\vec{OA} +k\!\cdot\!\vec[blue]{r_1} + \ell\!\cdot\!\vec[blue]{r_2}\)

Parameterform der Ebenengleichung

Sind von einer Ebene  \(\color{darkorange}{E}\)  ein Punkt  \(A\)  und zwei Richtungsvektoren  \(\vec[blue]{r_1}\)  und  \(\vec[blue]{r_2}\)  bekannt, so kann man jeden Punkt  \(X(x_1|x_2|x_3)\), der in der Ebene  \(\color{darkorange}{E}\)  liegt, durch seinen Ortsvektor  \(\overrightarrow{OX}\) \(= \vvv{x_1}{x_2}{x_3}\)  beschreiben, und zwar auf folgende Art und Weise:

Man findet zu jedem Punkt  \(X\)  der Ebene  \(\color{darkorange}{E}\)  jeweils eindeutige Werte für die Parameter  \(s\in\R\)  und  \(t\in\R\), so dass gilt:

\(\overrightarrow{OX}\) = \(\overrightarrow{OA} + s\!\cdot\!\vec[blue]{r_1} + t\!\cdot\!\vec[blue]{r_2}\).

Diese Gleichung ist eine Ebenengleichung in Parameterform.

Beispiele

Gegeben sind die Punkte \(\color{magenta}{A({-2}|0|4)}\), \(\color{red}{B({-1}|3|5)}\) und \(\color{red}{C(0|1|4)}\), die alle in einer gemeinsamen Ebene  \(\color{darkorange}{E}\)  liegen.

Zeigen Sie, dass die Ebene  \(\color{darkorange}{E}\)  eindeutig durch die Punkte  \(\color{magenta}A\),  \(\color{red}B\)  und  \(\color{red}C\)  festgelegt ist, und ermitteln Sie eine Ebenengleichung der Ebene   \(\color{darkorange}{E}\)  in Parameterform.

Lösung:

Damit  \(\color{darkorange}{E}\)  eindeutig durch die Punkte \(\color{magenta}A\),  \(\color{red}B\)  und  \(\color{red}C\)  festegelegt werden kann, dürfen  \(\color{magenta}A\),  \(\color{red}B\)  und  \(\color{red}C\)  nicht auf einer gemeinsamen Geraden liegen.

\(\color{magenta}A\), \(\color{red}B\)  und  \(\color{red}C\)  würden nur dann auf einer gemeinsamen Geraden liegen, wenn  \(\vec{AB}\)  und  \(\vec{AC}\)  linear abhängig wären.

\(\vec{AB} = \vec{OB}\,{-}\,\vec{OA}\) \(= \vvv{-1}{3}{5}\,{-}\,\vvv{-2}{0}{4}\) \(= \vvv{1}{3}{1}\)

\(\vec{AC} = \vec{OC}\,{-}\,\vec{OA}\) \(= \vvv{0}{1}{4}\,{-}\,\vvv{-2}{0}{4}\) \(= \vvv{2}{1}{0}\)

Teste  \(\vec{AB}\)  und \(\vec{AC}\)  auf lineare Abhängigkeit:

Vorschlag 1:

\(\vec{AB} = k\cdot\vec{AC}\) \(\quad\Leftrightarrow\quad\vvv{1}{3}{1} = k\cdot\vvv{2}{1}{0}\)

Da in der 3. Zeile eine falsche Aussage steht, kann  \(\vec{AB}\)  kein Vielfaches von  \(\vec{AC}\)  sein , also sind  \(\vec{AB}\)  und  \(\vec{AC}\)  linear unabhängig.

Vorschlag 2:

\(\vec{AB} \times \vec{AC}\) \(= \vvv{1}{3}{1}\times\vvv{2}{1}{0}\) \(= \vvv{{3 \cdot 0}\ -\ {1 \cdot 1}}{-({1 \cdot 0}\ -\ {1 \cdot 2})}{ {1 \cdot 1}\ -\ {3 \cdot 2}}\) \(= \vvv{-1}{2}{-5}\)

Da  \(\vec{AB} \times \vec{AC}\)  nicht der Nullvektor ist, müssen  \(\vec{AB}\)  und  \(\vec{AC}\)  linear unabhängig sein. Das ist bereits bei der Berechnung der 1. Koordinate zu erkennen, weshalb man sich die Berechnung der 2. und 3. Koordinate hätte sparen können.

Die Vektoren  \(\vec{AB}\)  und  \(\vec{AC}\)  können wir außerdem als Richtungsvektoren von  \(\color{darkorange}{E}\)  verwenden. Somit ist eine mögliche Parameterform der Ebenengleichung von  \(\color{darkorange}{E}\):

\(\vec{OX} = \vvv{-2}{0}{4} + s\!\cdot\!\vvv{1}{3}{1} + t\!\cdot\!\vvv{2}{1}{0}\), \(s, t\in\R\).

Weitere Beispiele zum selber Rechnen

 

 

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