Die Lage einer Ebene im Koordinatensystem

Überblick zu den Inhalten in diesem Kapitel

In diesem Kapitel lernen Sie, wie man möglichst schnell wesentliche Informationen finden kann,

  • die eindeutig beschreiben, wie eine Ebene im Koordinatensystem liegt,
  • um damit z.B. eine aussagekräftige Skizze der Ebene im Koordinatensystems anzufertigen.

\(\require{color}\definecolor{energy}{RGB}{114,0,172}\newcommand{\R}{{\rm I\!R}} \newcommand{\vvv}[3]{\left(\begin{array}{c} {#1}\\[-1em]{#2}\\[-1em]{#3} \end {array}\right) }\newcommand{\vv}[2]{\left(\begin{array}{c} {#1}\\[-1em] {#2} \end {array}\right) }\renewcommand{\vec}[2][black]{{\color{#1}{\overrightarrow{#2}}}}\newcommand{\MMM}[3]{\left(\begin{array}{rrr|r} #1\\ #2\\ #3\end{array}\right)}\)

Vorschlag 1: Beschreibung der Lage mithilfe der Achsenschnittpunkte

Eine Ebene kann durch 3 verschiedene Punkte eindeutig beschrieben werden, wenn diese nicht auf einer gemeinsamen Geraden liegen.

Rechnerisch sehr leicht zu ermitteln sind die Koordinaten der sog. Achsenschnittpunkte der Ebene.

 

Wenn Sie mit der rechten Maustaste in das Koordinatensystem klicken, erscheint ein Geogebra-Kontext-Menü. Dort können Sie ein Häkchen beim Menüpunkt „Ebene“ setzen, um die Lage der Ebene visuell evtl. leichter durchschauen zu können.

Achsenschnittpunkte einer Ebene:

Schneidet eine Ebene eine Koordinatenachse in genau einem Punkt, so heißt dieser Punkt Achsenschnittpunkt der Ebene.

  • Der Schnittpunkt der Ebene mit der x-Achse heißt x-Achsenschnittpunkt der Ebene.
  • Der Schnittpunkt der Ebene mit der y-Achse heißt y-Achsenschnittpunkt der Ebene.
  • Der Schnittpunkt der Ebene mit der z-Achse heißt z-Achsenschnittpunkt der Ebene.

\(\ \)

Bemerkung:

Die Achsenschnittpunkte werden im Folgenden  mit  \(\color{red}{X_0}\),  \(\color{red}{Y_0}\)  und  \(\color{red}{Z_0}\)  bezeichnet.

Vorschlag 2: Beschreibung der Lage mithilfe der Spurgeraden der Ebene

Eine Ebene kann durch 2 Geraden beschrieben werden, wenn diese echt parallel sind oder sich schneiden.

Rechnerisch mit nur geringem Aufwand zu ermitteln sind die sog. Spurgeraden der Ebene.

 

Wenn Sie mit der rechten Maustaste in das Koordinatensystem klicken, erscheint ein Geogebra-Kontext-Menü. Dort können Sie ein Häkchen beim Menüpunkt „Ebene“ setzen, um die Lage der Ebene visuell evtl. leichter durchschauen zu können.

Spurgeraden einer Ebene:

Schneidet eine Ebene eine Koordinatenebene in genau einer Geraden, so heißt diese Gerade Spurgerade der Ebene.

\(\ \)

Eine Ebene, die genau 2 Koordinatenachsen enthält, heißt Koordinatenebene.

  • Die  \(x\text{-}y\)-Koordinatenebene enthält die x-Achse und die y-Achse. Alle Punkte in der  \(x\text{-}y\)-Koordinatenebene haben die z-Koordinate 0.
  • Die  \(x\text{-}z\)-Koordinatenebene enthält die x-Achse und die z-Achse. Alle Punkte in der  \(x\text{-}z\)-Koordinatenebene haben die y-Koordinate 0.
  • Die  \(y\text{-}z\)-Koordinatenebene enthält die y-Achse und die z-Achse. Alle Punkte in der  \(y\text{-}z\)-Koordinatenebene haben die x-Koordinate 0.

\(\ \)
Bemerkung:

Die Spurgeraden werden im Folgenden mit  \(\large\color{energy}{s_{xy}}\),  \(\large\color{energy}{s_{xz}}\)  und  \(\large\color{energy}{s_{yz}}\)  bezeichnet.

Besondere Lage einer Ebene im Koordinatensystem

Von einer „besonderen Lage“ einer Ebene im Koordinatensystem spricht man dann, wenn die Ebene

  • parallel zu einer der Koordinatenachsen veläuft (x-Achse, y-Achse, z-Achse).
  • parallel zu zwei Koordinatenachsen verläuft – sie ist dann parallel zu einer der Koordinatenebenen
    (\(x\text{-}y\)-Ebene,  \(x\text{-}z\)-Ebene,  \(y\text{-}z\)-Ebene).
  • durch den Ursprung verläuft (man bezeichnet die Ebene dann auch als „Ursprungsebene“).
 

Anleitung zum nebenstehenden Geogebra-Applet

Wenn Sie mit der rechten Maustaste in das Koordinatensystem klicken, erscheint ein Geogebra-Kontext-Menü. Dort können Sie ein Häkchen beim Menüpunkt „Ebene“ setzen, um die Lage der Ebene visuell evtl. leichter durchschauen zu können.

Anleitung zum nebenstehenden Geogebra-Applet

Auswahl der besonderen Lage

Sie können auswählen, welche „besondere Lage“ der Ebene  \(\color{blue}E\)  Sie sehen wollen. Setzen Sie dazu jeweils ein Häkchen bei

  •  [\(O\in{\color{blue}E}\)], damit  \(\color{blue}E\)  durch den Ursprung verläuft.
  •  [\({\color{blue}E}\parallel 1\text{ Achse}\)], damit  \(\color{blue}E\)  zu genau EINER Koordinatenachse parallel verläuft.
  •  [\({\color{blue}E}\parallel 2\text{ Achsen}\)], damit  \(\color{blue}E\)  zu einer Koordinatenebene parallel verläuft.

Klicken Sie anschließend auf die  Neu –Schaltfläche.

Ändern der Darstellung der Ebenengleichung

Klicken Sie auf die Schaltfläche mit der Aufschrift  Geg.: , um die Art der Information über die Ebene  \(\color{blue}E\)  zu verändern. Die Lage der Ebene wird dadurch nicht beeinflusst. Die Informationen wechseln der Reihe nach zwischen

  • der Parameterform der Ebenengleichung
  • der Koordinatenform der Ebenengleichung
  • der Achsenabschnittsform der Ebenengleichung
  • den Achsenschnittpunkten der Ebene
  • 3 anderen Punkten der Ebene

Beobachtung der Spurgeraden

Um alle Spurgeraden  \(\large\color{energy}{s_{xy}}\),  \(\large\color{energy}{s_{xz}}\)  und  \(\large\color{energy}{s_{yz}}\)  gleichzeitig zu sehen, setzen Sie das Häkchen im Auswahlkästchen  \(\large\color{energy}{s}\).

Um nur jeweils eine Spurgerade zu sehen, entfernen Sie das Häkchen im Auswahlkästchen  \(\large\color{energy}{s}\)  und setzen ein Häkchen in einem der 3 Auswahlkästchen mit den Bezeichnungen der Spurgeraden. Für die ausgewählte Spurgerade wird außerdem eine mögliche Geradengleichung angezeigt, sofern die Spurgerade existiert.

Ob eine Ebene eine besondere Lage im Koordinatensystem besitzt, kann man rechnerisch sehr schnell herausfinden, indem man die Achsenschnittpunkte der Ebene untersucht.

Genauere Betrachtung der Achsenschnittpunkte der Ebene

Bei einem Punkt, der auf der x-Achse liegt, müssen die 2. und 3. Koordinate den Wert 0 haben.

Also gilt für den x-Achsen-Schnittpunkt der Ebene:  \(X_0=(x_0|0|0), x_0\in\R\).

Die x-Koordinate  \(x_0\)  von  \(X_0\)  heißt auch
x-Achsen-Abschnitt der Ebene.

Bei einem Punkt, der auf der y-Achse liegt, müssen die 1. und 3. Koordinate den Wert 0 haben.

Also gilt für den y-Achsen-Schnittpunkt der Ebene:  \(Y_0=(0|y_0|0), y_0\in\R\).

Die y-Koordinate  \(y_0\)  von  \(Y_0\)  heißt auch
y-Achsen-Abschnitt der Ebene.

Bei einem Punkt, der auf der z-Achse liegt, müssen die 1. und 2. Koordinate den Wert 0 haben.

Also gilt für den z-Achsen-Schnittpunkt der Ebene:  \(Z_0=(0|0|z_0), z_0\in\R\).

Die z-Koordinate  \(z_0\)  von  \(Z_0\)  heißt auch
z-Achsen-Abschnitt der Ebene.

Erkennen einer besonderen Lage der Ebene

Unter bestimmen Umständen kann es passieren, dass eine Ebene eine oder mehrere Koordinatenachsen nicht schneidet. Welche besondere Lage hat die Ebene dann im Koordinatensystem?

  • Wenn die Ebene eine bestimmte Koordinatenachse nicht schneidet, muss sie folglich echt parallel zu dieser Koordinatenachse sein.
  • Eine Ebene kann auch zu 2 Koordinatenachsen gleichzeitig echt parallel sein – sie ist dann sogar echt parallel zu der Koordinatenebene, die die beiden Koordinatenachsen enthält. Folglich kann sie dann auch keine der beiden Koordinatenachsen schneiden.

Ermittlung der Achsenschnittpunkte einer Ebene

Für die Ermittlung der Achsenschnittpunkte ist die Koordinatenform der Ebenengleichung sehr von Vorteil. Daher beschreiben wir im Folgenden eine Ebene  \(E\)  so allgemein wie möglich durch die Koordinatengleichung  \(A\!\cdot\! x +B\!\cdot\! y + C\!\cdot\! z = D\).

Fall 1: Die Ebene verläuft nicht durch den Ursprung

In diesem Fall können wir uns sicher sein, dass die Konstante  \(D\)  garantiert nicht den Wert 0 hat. Warum?

\( (0|0|0) \notin E \ \ \Leftrightarrow \ \ A\!\cdot\! 0 +B\!\cdot\! 0 + C\!\cdot\! 0 \neq D \ \ \Leftrightarrow \ \ 0 \neq D\)

\(X_0\)  ist x-Achsen-Schnittpunkt:

\(X_0(x_0|{\color{red}0}|{\color{red}0})\in E\)

\(\Leftrightarrow \ \ A\!\cdot\! x_0 +B\!\cdot\! {\color{red}0} + C\!\cdot\! {\color{red}0} = D\)

\(\Leftrightarrow \ \ A\!\cdot\! x_0 = D\)

\(Y_0\)  ist y-Achsen-Schnittpunkt:

\( Y_0({\color{red}0}|y_0|{\color{red}0})\in E\)

\(\Leftrightarrow \ \  A\!\cdot\! {\color{red}0} + B\!\cdot\! y_0 + C\!\cdot\! {\color{red}0} = D\)

\(\Leftrightarrow \ \ B\!\cdot\! y_0 = D\)

\(Z_0\)  ist z-Achsen-Schnittpunkt:

\(Z_0({\color{red}0}|{\color{red}0}|z_0)\in E\)

\(\Leftrightarrow \ \ A\!\cdot\! {\color{red}0} + B\!\cdot\! {\color{red}0} + C\!\cdot\! z_0 = D\)

\(\Leftrightarrow \ \ C\!\cdot\! z_0 = D\)

Falls  \(A \neq 0\):

\(\Rightarrow \ \ x_0 = \frac{D}{A}\)

\(\Rightarrow \ \ X_0 = (\frac{D}{A}|0|0)\)

Falls  \(B \neq 0\):

\(\Rightarrow \ \ y_0 = \frac{D}{B}\)

\(\Rightarrow \ \ Y_0 = (0|\frac{D}{B}|0)\)

Falls  \(C \neq 0\):

\(\Rightarrow \ \ z_0 = \frac{D}{C}\)

\(\Rightarrow \ \ Z_0 = (0|0|\frac{D}{C})\)

Beispiel

Geben Sie die Achsenschnittpunkte der Ebene  \(E\)  mit der Gleichung  \(2\!\cdot\! x +3\!\cdot\! y + 4\!\cdot\! z = 12\)  an.

Lösung:

\(X_0=(\frac{12}{2}|0|0)=(6|0|0),\)   \(Y_0=(0|\frac{12}{3}|0)=(0|4|0),\)  \(Z_0=(0|0|\frac{12}{4})=(0|0|3)\)

Falls  \(A = 0\):

\(\Rightarrow \ \ \underbrace{0\cdot x_0}_{= 0} = \underbrace{D}_{\neq 0}\)  (unmöglich)

\(\Rightarrow\)  \(E\)  schneidet die x-Achse nicht.

\(\Rightarrow\)  \(E\)  ist echt parallel zur x-Achse.

Falls  \(B = 0\):

\(\Rightarrow \ \ \underbrace{0\cdot y_0}_{= 0} = \underbrace{D}_{\neq 0}\)  (unmöglich)

\(\Rightarrow\)  \(E\)  schneidet die y-Achse nicht.

\(\Rightarrow\)  \(E\)  ist echt parallel zur y-Achse.

Falls  \(C = 0\):

\(\Rightarrow \ \ \underbrace{0\cdot z_0}_{= 0} = \underbrace{D}_{\neq 0}\)  (unmöglich)

\(\Rightarrow\)  \(E\)  schneidet die z-Achse nicht.

\(\Rightarrow\)  \(E\)  ist echt parallel zur z-Achse.

Beispiel

Geben Sie für die Ebenen  \(E\mbox{:  } 3\!\cdot\! y + 4\!\cdot\! z = 6\),  \(F\mbox{:  } 4\!\cdot\! {x }- {2}\!\cdot\! z = 3\)  und  \(G\mbox{:  } {-2}\!\cdot\! x + y = 1\)  jeweils die Achsenschnittpunkte (sofern vorhanden) und die besondere Lage im dreidimensionalen Koordinatensystem an.

\(E\)  ist echt parallel zur x-Achse und besitzt die Achsenschnittpunkte  \(Y_0(0|2|0)\)  und  \(Z_0(0|0|1{,}5)\).

\(F\)  ist echt parallel zur y-Achse und besitzt die Achsenschnittpunkte  \(X_0(0{,}75|0|0)\)  und  \(Z_0(0|0|{-}1{,}5)\).

\(G\)  ist echt parallel zur z-Achse und besitzt die Achsenschnittpunkte  \(X_0(-0{,}5|0|0)\)  und  \(Y_0(0|1|0)\).

Fall 2: Die Ebene ist eine Ursprungsebene (sie verläuft durch den Ursprung)

In diesem Fall können wir uns sicher sein, dass die Konstante  \(D\)  garantiert den Wert 0 hat. Warum?

\( (0|0|0) \in E \ \ \Leftrightarrow \ \ A\!\cdot\! 0 +B\!\cdot\! 0 + C\!\cdot\! 0 = D \ \ \Leftrightarrow \ \ 0 = D\)

Ist  \(E\)  eine Ursrpungsebene, hat ihre Koordinatengleichung folglich die Gestalt  \(A\!\cdot\! x +B\!\cdot\! y + C\!\cdot\! z = 0\).

\(X_0\)  ist x-Achsen-Schnittpunkt:

\(X_0(x_0|{\color{red}0}|{\color{red}0})\in E\)

\(\Leftrightarrow \ \ A\!\cdot\! x_0 +B\!\cdot\! {\color{red}0} + C\!\cdot\! {\color{red}0} = 0\)

\(\Leftrightarrow \ \ A\!\cdot\! x_0 = 0\)

\(Y_0\)  ist y-Achsen-Schnittpunkt:

\( Y_0({\color{red}0}|y_0|{\color{red}0})\in E\)

\(\Leftrightarrow \ \  A\!\cdot\! {\color{red}0} + B\!\cdot\! y_0 + C\!\cdot\! {\color{red}0} = 0\)

\(\Leftrightarrow \ \ B\!\cdot\! y_0 = 0\)

\(Z_0\)  ist z-Achsen-Schnittpunkt:

\(Z_0({\color{red}0}|{\color{red}0}|z_0)\in E\)

\(\Leftrightarrow \ \ A\!\cdot\! {\color{red}0} + B\!\cdot\! {\color{red}0} + C\!\cdot\! z_0 = 0\)

\(\Leftrightarrow \ \ C\!\cdot\! z_0 = 0\)

Falls  \(A \neq 0\):

\(\Rightarrow \ \ x_0 = \frac{0}{A} = 0 \)

\(\Rightarrow \ \ X_0 = (0|0|0)\)

Falls  \(B \neq 0\):

\(\Rightarrow \ \ y_0 = \frac{0}{B}= 0\)

\(\Rightarrow \ \ Y_0 = (0|0|0)\)

Falls  \(C \neq 0\):

\(\Rightarrow \ \ z_0 = \frac{0}{C}= 0\)

\(\Rightarrow \ \ Z_0 = (0|0|0)\)

Beispiel

Geben Sie für die Ebene  \(E\mbox{:  } 2\!\cdot\! x +3\!\cdot\! y + 4\!\cdot\! z = 0\)  die Achsenschnittpunkte und die besondere Lage im dreidimensionalen Koordinatensystem an.

Alle drei Achsenschnittpunkte sind identisch mit dem Ursprung:  \(X_0=Y_0=Z_0=(0|0|0)\).

Die besondere Lage der Ebene ist, dass sie den Ursprung enthält.

Falls  \(A = 0\):

\(\Rightarrow \ \ \underbrace{0\cdot x_0}_{= 0} = 0\)  (wahr)

\(\Rightarrow\)  \(E\)  enthält die x-Achse.

Falls  \(B = 0\):

\(\Rightarrow \ \ \underbrace{0\cdot y_0}_{= 0} = 0\)  (wahr)

\(\Rightarrow\)  \(E\)  enthält die y-Achse.

Falls  \(C = 0\):

\(\Rightarrow \ \ \underbrace{0\cdot z_0}_{= 0} = 0\)  (wahr)

\(\Rightarrow\)  \(E\)  enthält die z-Achse.

Beispiel

Geben Sie für die Ebenen  \(E\mbox{:  } 3\!\cdot\! y + 4\!\cdot\! z = 0\),  \(F\mbox{:  } 4\!\cdot\! {x }- {2}\!\cdot\! z = 0\)  und  \(G\mbox{:  } {-2}\!\cdot\! x +  y = 0\)  jeweils die Achsenschnittpunkte (sofern vorhanden) und die besondere Lage im dreidimensionalen Koordinatensystem an.

\(E\)  enthält die komplette x-Achse und besitzt die Achsenschnittpunkte  \(Y_0(0|0|0)\)  und  \(Z_0(0|0|0)\).

\(F\)  enthält die komplette y-Achse und besitzt die Achsenschnittpunkte  \(X_0(0|0|0)\)  und  \(Z_0(0|0|0)\).

\(G\)  enthält die komplette z-Achse und besitzt die Achsenschnittpunkte  \(X_0(0|0|0)\)  und  \(Y_0(0|0|0)\).

Zusammenfassung

Falls eine Ebene  \(E\)  den Ursprung nicht enthält:  \(E\mbox{:  } A\!\cdot\! x +B\!\cdot\! y + C\!\cdot\! z = D, \ D\neq 0\)

a) Zu jeder der Variablen  \(x\),  \(y\)  oder  \(z\), die in der Koordinatengleichung der Ebene NICHT fehlt, kann man den entsprechenden Achsenschnittpunkt berechnen:

\(X_0(\frac{D}{A}|0|0)\),  \(Y_0(0|\frac{D}{B}|0)\),  \(Z_0(0|0|\frac{D}{C})\)

b) Wenn in der Koordinatengleichung der Ebene eine der Variablen  \(x\),  \(y\)  oder  \(z\)  fehlt, so ist die Ebene zur entsprechenden Achse echt parallel.

Falls eine Ebene  \(E\)  eine Ursprungsebene ist:  \(E\mbox{:  } A\!\cdot\! x +B\!\cdot\! y + C\!\cdot\! z = 0\)

a) Zu jeder der Variablen  \(x\),  \(y\)  oder  \(z\), die in der Koordinatengleichung der Ursprungsebene NICHT fehlt, kann man den entsprechenden Achsenschnittpunkt berechnen – es handelt sich dabei immer um den Ursprung:

\(X_0(0|0|0)\),  \(Y_0(0|0|0)\),  \(Z_0(0|0|0)\)

b) Wenn in der Koordinatengleichung der Ebene eine der Variablen  \(x\),  \(y\)  oder  \(z\)  fehlt, so enthält die Ursprungsebene die entsprechenden Achse.

Wichtige Zusatzfrage

Ihnen ist sicher aufgefallen, dass es offenbar Sonderfälle für die Koordinatengleichung einer Ebene gibt, bei denen die Informationen über die Lage der Achsenschnittpunkte und über die eventuelle Parallelität der Ebene zu Koordinatenachsen NICHT ausreichen, um die Lage der Ebene im Koordinatensystem eindeutig zu beschreiben.

Um welche Sonderfälle handelt es sich?

1. Möglichkeit: Die Ebene  \(E\)  ist eine Ursprungsebene und alle Vorfaktoren  \(A\),  \(B\),  \(C\)  sind NICHT 0

\(E\mbox{:  } A\!\cdot\! x +B\!\cdot\! y + C\!\cdot\! z = 0\)

Die 3 Achsenschnittpunkte sind dann identisch, nämlich \(X_0(0|0|0)\) \(= Y_0(0|0|0)\)  \(= Z_0(0|0|0)\)

Ein einziger Punkt genügt nicht, um die Lage einer Ebene eindeutig zu beschreiben.

2. Möglichkeit: Die Ebene  \(E\)  ist eine Ursprungsebene und genau einer der drei Vorfaktoren ist 0

  • \(E\mbox{:  } B\!\cdot\! y + C\!\cdot\! z = 0\)  \(\ \ \Rightarrow\ \ Y_0(0|0|0)\)  \(= Z_0(0|0|0)\),   \(E\)  enthält die x-Achse
  • \(E\mbox{:  } A\!\cdot\! x +C\!\cdot\! z = 0\)  \(\ \ \Rightarrow\ \ X_0(0|0|0)\)  \(= Z_0(0|0|0)\),   \(E\)  enthält die y-Achse
  • \(E\mbox{:  } A\!\cdot\! x +B\!\cdot\! y = 0\)  \(\ \ \Rightarrow\ \ X_0(0|0|0)\)  \(= Y_0(0|0|0)\),   \(E\)  enthält die z-Achse

In jedem der 3 Fälle ist immer nur eine Gerade (nämlich eine der Koordinatenachsen) bekannt, die in der Ebene liegt, und ein Punkt (der Ursprung), der auf dieser Geraden liegt. Das genügt nicht, um die Lage einer Ebene eindeutig zu beschreiben.

Ermittlung der Spurgeraden einer Ebene

Wir haben gesehen, dass man sich die Lage einer Ebene im Koordinatensystem sehr gut vorstellen kann, wenn man die Lage ihrer Achsenschnittpunkte kennt.

Selbst wenn man feststellt, dass einer der Achsenschnittpunkte fehlt, ist das eine gewinnbringende Information für die Lage der Ebene im Koordinatensystem: die Ebene muss dann echt parallel zu der Koordinatenachse sein, auf der eben keine Achsenschnittpunkt vorhanden ist.

Bei einer Ursprungsebene sind die Achsenschnittpunkte überhaupt nicht hilftreich, dann die Ursprungsebene enthält naturgemäß immer den Ursrpung, und da jede Koordinatenachse den Ursprung enthält, ist der Ursrpung automatisch stets der einzige Achsenschnittpunkt.

Die Spurgeraden der Ebene  \(E\mbox{:  } A\!\cdot\! x +B\!\cdot\! y + C\!\cdot\! z = D\)  sind diejenigen Geraden, in denen sich die Koordinatenebenen jeweils mit der Ebene  \(E\)  schneiden.

Spurgerade  \(\large\color{energy}{s_{xy}}\)

Wenn es die Spurgerade  \(\large\color{energy}{s_{xy}}\)  gibt, dann verläuft sie in der  \(x\text{-}y\)-Ebene. Also haben alle Punkte von  \(\large\color{energy}{s_{xy}}\)  die Koordinate  \(z = 0\).

Für die anderen Koordinaten gilt folglich:  \(A\!\cdot\! x +B\!\cdot\! y = D\)

Spurgerade  \(\large\color{energy}{s_{xz}}\)

Wenn es die Spurgerade  \(\large\color{energy}{s_{xz}}\)  gibt, dann verläuft sie in der  \(x\text{-}z\)-Ebene. Also haben alle Punkte von  \(\large\color{energy}{s_{xz}}\)  die Koordinate  \(y = 0\).

Für die anderen Koordinaten gilt folglich:  \(A\!\cdot\! x + C\!\cdot\! z = D\)

Spurgerade  \(\large\color{energy}{s_{yz}}\)

Wenn es die Spurgerade  \(\large\color{energy}{s_{yz}}\)  gibt, dann verläuft sie in der  \(y\text{-}z\)-Ebene. Also haben alle Punkte von  \(\large\color{energy}{s_{yz}}\)  die Koordinate  \(x = 0\).

Für die anderen Koordinaten gilt folglich:  \(B\!\cdot\! y + C\!\cdot\! z = D\)

Genauere Untersuchung der Spurgeraden  \(\large\color{energy}{s_{xy}}\)

Wenn es die Spurgerade  \(\large\color{energy}{s_{xy}}\)  der Ebene  \(E\mbox{:  } A\!\cdot\! x +B\!\cdot\! y + C\!\cdot\! z = D\)  gibt, dann verläuft sie in der  \(x\text{-}y\)-Ebene. Also haben alle Punkte von  \(\large\color{energy}{s_{xy}}\)  die Koordinate  \(z = 0\). Für die anderen Koordinaten gilt folglich:  \(A\!\cdot\! x +B\!\cdot\! y = D\)

Falls  \(A\neq 0\):

\(A\!\cdot\! x +B\!\cdot\! y = D\)

\(\Rightarrow\quad x = \frac{D}{A}\,{-}\,\frac{B}{A}\!\cdot\! y\),  wobei  \(y\)  frei wählbar ist.

Wir wählen für  \(y\)  den Wert  \(k\in\R\)  und notieren:

\(\begin{array}{l} x = \frac{D}{A}\,{-}\,\frac{B}{A}\!\cdot\! k \\ y = k \\ z = 0 \end{array}\)  bzw.  \(\vvv{x}{y}{z} = \vvv{\frac{D}{A}\,{-}\,\frac{B}{A}\!\cdot\! k}{k}{0}\)

Wir zerlegen den Vektor auf der rechten Seite in 2 Summanden:

\(\vvv{x}{y}{z} = \vvv{\frac{D}{A}}{0}{0} + \vvv{-\frac{B}{A}\!\cdot\! k}{k}{0}\)

Damit haben wir eine Geradengleichung von  \(\large\color{energy}{s_{xy}}\) :

\(\vvv{x}{y}{z} = \vvv{\frac{D}{A}}{0}{0} + k\!\cdot\!\vvv{-\frac{B}{A}}{1}{0}\)

\(\large\color{energy}{s_{xy}}\):  \(\vec{OX} = \vvv{\frac{D}{A}}{0}{0} + k\!\cdot\!\vvv{-\frac{B}{A}}{1}{0}\)

Falls  \(B\neq 0\):

\(A\!\cdot\! x +B\!\cdot\! y = D\)

\(\Rightarrow\quad y = \frac{D}{B}\,{-}\,\frac{A}{B}\!\cdot\! x\),  wobei  \(x\)  frei wählbar ist.

Wir wählen für  \(x\)  den Wert  \(\ell\in\R\)  und notieren:

\(\begin{array}{l} x = \ell \\ y = \frac{D}{B}\,{-}\,\frac{A}{B}\!\cdot\!\ell \\ z = 0 \end{array}\)  bzw.  \(\vvv{x}{y}{z} = \vvv{\ell}{\frac{D}{B}\,{-}\,\frac{A}{B}\!\cdot\! \ell}{0}\)

Wir zerlegen den Vektor auf der rechten Seite in 2 Summanden:

\(\vvv{x}{y}{z} = \vvv{0}{\frac{D}{B}}{0} + \vvv{\ell}{-\frac{A}{B}\!\cdot\! \ell}{0}\)

Damit haben wir eine Geradengleichung von  \(\large\color{energy}{s_{xy}}\) :

\(\vvv{x}{y}{z} = \vvv{0}{\frac{D}{B}}{0} + \ell\!\cdot\!\vvv{1}{-\frac{A}{B}}{0}\)

\(\large\color{energy}{s_{xy}}\):  \(\vec{OX} = \vvv{0}{\frac{D}{B}}{0} + \ell\!\cdot\!\vvv{1}{-\frac{A}{B}}{0}\)

Zusatzfragen

Begründen Sie, dass für den Fall  \(A\neq 0\)  und  \(B\neq 0\)  die beiden Geradengleichungen tatsächlich dieselbe Gerade beschreiben.

Verglichen werden die Geraden

  • \(g_A\mbox{: } \vec{OX} = \vvv{\frac{D}{A}}{0}{0} + k\!\cdot\!\vvv{-\frac{B}{A}}{1}{0}\)
  • \(g_B\mbox{: } \vec{OX} = \vvv{0}{\frac{D}{B}}{0} + \ell\!\cdot\!\vvv{1}{-\frac{A}{B}}{0}\)

Nachweis, dass der Aufhängepunkt  \(\left(\frac{D}{A}|0|0\right)\)  von  \(g_A\)  auf  \(g_B\)  liegt:

Wählt man  \(\ell=\frac{D}{A}\), so erhält man \(\vec{OX} = \vvv{0}{\frac{D}{B}}{0} + \frac{D}{A}\!\cdot\!\vvv{1}{-\frac{A}{B}}{0}\) \(= \vvv{0}{\frac{D}{B}}{0} + \vvv{\frac{D}{A}\!\cdot\!}{-\frac{A}{B}\frac{D}{A}\!\cdot\!}{0}\) \(= \vvv{\frac{D}{A}}{0}{0}\).

Nachweis, dass die Richtungsvektoren von  \(g_A\)  und  \(g_B\)  linear abhängig sind:

Wir skalieren beide Richtungsvektoren so, dass die Brüche verschwinden.

\(-A\!\cdot\!\vvv{-\frac{B}{A}}{1}{0} = \vvv{B}{-A}{0}\)  bzw. \(B\!\cdot\!\vvv{1}{-\frac{A}{B}}{0} = \vvv{B}{-A}{0}\)

Beide Richtungsvektoren sind linear abhängig von demselben Vektor,  folglich hängen sie selbst auch voneinander ab.

Bemerkung:

Somit ist auch  \(\vvv{B}{-A}{0}\)  ein geeigneter Richtungsvektor der Spurgeraden  \(\large\color{energy}{s_{xy}}\).

Begründen Sie, dass für den Fall  \(A = 0\)  und  \(B = 0\)  die Spurgerade  \(\large\color{energy}{s_{xy}}\)  nicht existiert.

Dann lautet die Ebenengleichung  \(E\mbox{: } C\!\cdot\!z =D\).  Die Ebene  \(E\)  ist dann

  • echt parallel zur  \(x\text{-}y\)-Ebene, wenn  \(D\neq 0\).
  • identisch mit der  \(x\text{-}y\)-Ebene, wenn  \(D = 0\).

Somit ist in beiden Fällen die Schnittmenge von  \(E\)  mit der  \(x\text{-}y\)-Ebene keine Schnittgerade, also kann es die Spurgerade  \(\large\color{energy}{s_{xy}}\)  nicht geben.

Genauere Untersuchung der Spurgeraden  \(\large\color{energy}{s_{xz}}\)

Wenn es die Spurgerade  \(\large\color{energy}{s_{xz}}\)  der Ebene  \(E\mbox{:  } A\!\cdot\! x +B\!\cdot\! y + C\!\cdot\! z = D\)  gibt, dann verläuft sie in der  \(x\text{-}z\)-Ebene. Also haben alle Punkte von  \(\large\color{energy}{s_{xz}}\)  die Koordinate  \(y = 0\). Für die anderen Koordinaten gilt folglich:  \(A\!\cdot\! x + C\!\cdot\! z = D\)

Falls  \(A\neq 0\):

\(A\!\cdot\! x + C\!\cdot\! z = D\)

\(\Rightarrow\quad x = \frac{D}{A}\,{-}\,\frac{C}{A}\!\cdot\! z\),  wobei  \(z\)  frei wählbar ist.

Wir wählen für  \(z\)  den Wert  \(k\in\R\)  und notieren:

\(\begin{array}{l} x = \frac{D}{A}\,{-}\,\frac{C}{A}\!\cdot\! k \\ y=0\\ z = k \end{array}\)  bzw.  \(\vvv{x}{y}{z} = \vvv{\frac{D}{A}\,{-}\,\frac{C}{A}\!\cdot\! k}{0}{k}\)

Wir zerlegen den Vektor auf der rechten Seite in 2 Summanden:

\(\vvv{x}{y}{z} = \vvv{\frac{D}{A}}{0}{0} + \vvv{-\frac{C}{A}\!\cdot\! k}{0}{k}\)

Damit haben wir eine Geradengleichung von  \(\large\color{energy}{s_{xz}}\) :

\(\vvv{x}{y}{z} = \vvv{\frac{D}{A}}{0}{0} + k\!\cdot\!\vvv{-\frac{C}{A}}{0}{1}\)

\(\large\color{energy}{s_{xz}}\):  \(\vec{OX} = \vvv{\frac{D}{A}}{0}{0} + k\!\cdot\!\vvv{-\frac{C}{A}}{0}{1}\)

Falls  \(C\neq 0\):

\(A\!\cdot\! x + C\!\cdot\! z = D\)

\(\Rightarrow\quad z = \frac{D}{C}\,{-}\,\frac{A}{C}\!\cdot\! x\),  wobei  \(x\)  frei wählbar ist.

Wir wählen für  \(x\)  den Wert  \(\ell\in\R\)  und notieren:

\(\begin{array}{l} x = \ell \\ y = 0 \\ z= \frac{D}{C}\,{-}\,\frac{A}{C}\!\cdot\!\ell \end{array}\)  bzw.  \(\vvv{x}{y}{z} = \vvv{\ell}{0}{\frac{D}{C}\,{-}\,\frac{A}{C}\!\cdot\! \ell}\)

Wir zerlegen den Vektor auf der rechten Seite in 2 Summanden:

\(\vvv{x}{y}{z} = \vvv{0}{0}{\frac{D}{C}} + \vvv{\ell}{0}{-\frac{A}{C}\!\cdot\! \ell}\)

Damit haben wir eine Geradengleichung von  \(\large\color{energy}{s_{xz}}\) :

\(\vvv{x}{y}{z} = \vvv{0}{0}{\frac{D}{C}} + \ell\!\cdot\!\vvv{1}{0}{-\frac{A}{C}}\)

\(\large\color{energy}{s_{xz}}\):  \(\vec{OX} = \vvv{0}{0}{\frac{D}{C}} + \ell\!\cdot\!\vvv{1}{0}{-\frac{A}{C}}\)

Genauere Untersuchung der Spurgeraden  \(\large\color{energy}{s_{yz}}\)

Wenn es die Spurgerade  \(\large\color{energy}{s_{yz}}\)  der Ebene  \(E\mbox{:  } A\!\cdot\! x +B\!\cdot\! y + C\!\cdot\! z = D\)  gibt, dann verläuft sie in der  \(y\text{-}z\)-Ebene. Also haben alle Punkte von  \(\large\color{energy}{s_{yz}}\)  die Koordinate  \(x = 0\). Für die anderen Koordinaten gilt folglich:  \(B\!\cdot\! y + C\!\cdot\! z = D\)

Falls  \(B\neq 0\):

\(B\!\cdot\! y + C\!\cdot\! z = D\)

\(\Rightarrow\quad y = \frac{D}{B}\,{-}\,\frac{C}{B}\!\cdot\! z\),  wobei  \(z\)  frei wählbar ist.

Wir wählen für  \(z\)  den Wert  \(k\in\R\)  und notieren:

\(\begin{array}{l} x = 0 \\ y = \frac{D}{B}\,{-}\,\frac{C}{B}\!\cdot\! k \\ z = k \end{array}\)  bzw.  \(\vvv{x}{y}{z} = \vvv{0}{\frac{D}{B}\,{-}\,\frac{C}{B}\!\cdot\! k}{k}\)

Wir zerlegen den Vektor auf der rechten Seite in 2 Summanden:

\(\vvv{x}{y}{z} = \vvv{0}{\frac{D}{B}}{0} + \vvv{0}{-\frac{C}{B}\!\cdot\! k}{k}\)

Damit haben wir eine Geradengleichung von  \(\large\color{energy}{s_{yz}}\) :

\(\vvv{x}{y}{z} = \vvv{0}{\frac{D}{B}}{0} + k\!\cdot\!\vvv{0}{-\frac{C}{B}}{1}\)

\(\large\color{energy}{s_{yz}}\):  \(\vec{OX} = \vvv{0}{\frac{D}{B}}{0} + k\!\cdot\!\vvv{0}{-\frac{C}{B}}{1}\)

Falls  \(C\neq 0\):

\(B\!\cdot\! y + C\!\cdot\! z = D\)

\(\Rightarrow\quad z = \frac{D}{C}\,{-}\,\frac{B}{C}\!\cdot\! y\),  wobei  \(y\)  frei wählbar ist.

Wir wählen für  \(y\)  den Wert  \(\ell\in\R\)  und notieren:

\(\begin{array}{l} x = 0 \\ y = \ell \\ z= \frac{D}{C}\,{-}\,\frac{B}{C}\!\cdot\!\ell \end{array}\)  bzw.  \(\vvv{x}{y}{z} = \vvv{0}{\ell}{\frac{D}{C}\,{-}\,\frac{B}{C}\!\cdot\! \ell}\)

Wir zerlegen den Vektor auf der rechten Seite in 2 Summanden:

\(\vvv{x}{y}{z} = \vvv{0}{0}{\frac{D}{C}} + \vvv{0}{\ell}{-\frac{B}{C}\!\cdot\! \ell}\)

Damit haben wir eine Geradengleichung von  \(\large\color{energy}{s_{yz}}\) :

\(\vvv{x}{y}{z} = \vvv{0}{0}{\frac{D}{C}} + \ell\!\cdot\!\vvv{0}{1}{-\frac{B}{C}}\)

\(\large\color{energy}{s_{yz}}\):  \(\vec{OX} = \vvv{0}{0}{\frac{D}{C}} + \ell\!\cdot\!\vvv{0}{1}{-\frac{B}{C}}\)

Zusammenfassung (Geradengleichung von Spurgeraden)

Geradengleichung von  \(\large\color{energy}{s_{xy}}\)

Für  \(A\neq 0\): \(\vec{OX} =\!\vvv{\frac{D}{A}}{0}{0}\!+ k_1\!\cdot\!\vvv{B}{-A}{0}\)

Für  \(B\neq 0\): \(\vec{OX} =\!\vvv{0}{\frac{D}{B}}{0}\!+k_2\!\cdot\!\vvv{B}{-A}{0}\)

Geradengleichung von  \(\large\color{energy}{s_{xz}}\)

Für  \(A\neq 0\):  \(\vec{OX} =\!\vvv{\frac{D}{A}}{0}{0}\!+ \ell_1\!\cdot\!\vvv{C}{0}{-A}\)

Für  \(C\neq 0\):  \(\vec{OX} =\!\vvv{0}{0}{\frac{D}{C}}\!+ \ell_2\!\cdot\!\vvv{C}{0}{-A}\)

Geradengleichung von  \(\large\color{energy}{s_{yz}}\)

Für  \(B\neq 0\):  \(\vec{OX} =\!\vvv{0}{\frac{D}{B}}{0}\!+ m_1\!\cdot\!\vvv{0}{C}{-B}\)

Für  \(C\neq 0\):  \(\vec{OX} =\!\vvv{0}{0}{\frac{D}{C}}\!+m_2\!\cdot\!\vvv{0}{C}{-B}\)

Dynamisch erzeugte Aufgaben mit vorgerechneter Lösung

Im nachfolgenden Geogebra-Applet können Sie sich eine zufällig erzeugte Gleichung einer Ebenen vorgeben lassen, deren besondere Lage im Koordinatensystem Sie selber untersuchen sollen. Am Ende sollten Sie Ihre Lösung mit der vom Applet vorgeführten Lösung vergleichen.

Tipp:

Sie können die Aufgabe dadurch variieren, dass Sie sich die Ebenengleichung nicht in Koordinatenform angeben lassen, sondern z.B. in Parameterform.

Hinweise zur Bedienung des Geogebra-Applets

Auswahl der besonderen Lage

Sie können auswählen, welche „besondere Lage“ die Ebene  \(\color{blue}E\)  haben soll. Setzen Sie dazu jeweils ein Häkchen bei

  •  [\(O\in{\color{blue}E}\)], damit  \(\color{blue}E\)  durch den Ursprung verläuft.
  •  [\({\color{blue}E}\parallel 1\text{ Achse}\)], damit  \(\color{blue}E\)  zu genau EINER Koordinatenachse parallel verläuft.
  •  [\({\color{blue}E}\parallel 2\text{ Achsen}\)], damit  \(\color{blue}E\)  zu einer Koordinatenebene parallel verläuft.

Klicken Sie anschließend auf die  Neu –Schaltfläche.

 

Ändern der Darstellung der Ebenengleichung

Klicken Sie auf die Schaltfläche mit der Aufschrift  Geg.: , um die Art der Information über die Ebene  \(\color{blue}E\)  zu verändern. Die Lage der Ebene wird dadurch nicht beeinflusst. Die Informationen wechseln der Reihe nach zwischen

  • der Parameterform der Ebenengleichung
  • der Koordinatenform der Ebenengleichung
  • der Achsenabschnittsform der Ebenengleichung
  • den Achsenschnittpunkten der Ebene
  • 3 anderen Punkten der Ebene

 

Um alle Spurgeraden  \(\large\color{energy}{s_{xy}}\),  \(\large\color{energy}{s_{xz}}\)  und  \(\large\color{energy}{s_{yz}}\)  gleichzeitig zu sehen, setzen Sie das Häkchen im Auswahlkästchen  \(\large\color{energy}{s}\).

Um nur jeweils eine Spurgerade zu sehen, entfernen Sie das Häkchen im Auswahlkästchen  \(\large\color{energy}{s}\)  und setzen ein Häkchen in einem der 3 Auswahlkästchen mit den Bezeichnungen der Spurgeraden. In den Lösungshinweisen wird für die jeweils ausgewählte Spurgerade eine mögliche Geradengleichung hergeleitet (sofern die Spurgerade existiert).

 
Weiter
Zurück