Das Kreuzprodukt zweier Vektoren

Überblick zu den Inhalten dieses Kapitels

(1) Ausblick: Mögliche Anwendungen für das Kreuzprodukt

(2) Erinnerung: Vektoren ermitteln, die zu zwei Vektoren gleichzeitig senkrecht sind

(3) Definition: Das Kreuzprodukt zweier 3-dimensionaler Vektoren

(4) Beispiel

(5) Hilfestellungen für das Schema des Kreuzproduktvektors

(6) Eigenschaften des Kreuzprodukts

(7) Fragen zu den Eigenschaften des Kreuzprodukts

Ausblick: Mögliche Anwendungen für das Kreuzprodukt

  • Ermittlung eines Normalenvektors einer Ebene
  • Ermittlung der Normalenform von Ebenengleichungen
  • Berechnung der Größe des Winkels zwischen 2 Ebenen, bzw. zwischen einer Geraden und einer Ebene
  • Berechnung des Flächeninhalts von Parallelogrammen und damit verwandten Figuren
  • Berechnung des Volumens von Parallelotopen und damit verwandten Figuren

Vektoren ermitteln, die zu zwei Vektoren gleichzeitig senkrecht sind

Auf der Suche nach einem Vektor \(\vec{n_0}\),

  • der senkrecht zu einem Vektor  \(\color{red}{\vec{p}}=\begin{pmatrix}\color{red}{p_1} \\\color{red}{p_2} \\ \color{red}{p_3} \end{pmatrix}\) ist (d.h.  \(\vec{n_0}\cdot\color{red}{\vec{p}} = 0\))
  • und senkrecht zu einem Vektor  \(\color{blue}{\vec{q}}=\begin{pmatrix}\color{blue}{q_1} \\\color{blue}{q_2} \\\color{blue}{q_3} \end{pmatrix}\) ist (d.h.  \(\vec{n_0}\cdot\color{blue}{\vec{q}} = 0\)),

haben wir im letzten Abschnitt einen Vektor  \(\vec{n_0}\)  gefunden, der offenbar nach einem ganz bestimmten Schema aus den Koordinaten von  \(\color{red}{\vec{p}}\)  und  \(\color{blue}{\vec{q}}\)  „gebastelt“ werden:

\(\vec{n_0}\)  \(=\begin{pmatrix} \color{red}{p_2}\cdot \color{blue}{q_3}\ – \color{red}{p_3}\cdot \color{blue}{q_2} \\ – (\color{red}{p_1}\cdot \color{blue}{q_3}\ – \color{red}{p_3}\cdot \color{blue}{q_1}) \\\color{red}{p_1}\cdot \color{blue}{q_2}\ – \color{red}{p_2}\cdot \color{blue}{q_1} \end{pmatrix}\).

Aus mathematischer Sicht betrachtet werden hier die Vektoren  \(\color{red}{\vec{p}}\)  und  \(\color{blue}{\vec{q}}\)  verknüpft , wobei als Ergebnis der Verknüpfung der Vektor  \(\vec{n_0}\)  herauskommt. Diese besondere Art der Verknüpfung wird in der Mathematik als Kreuzprodukt (oder auch Vektorprodukt) bezeichnet.

Definition (Kreuzprodukt)

Gegeben sind die Vektoren  \(\color{red}{\vec{p}}=\begin{pmatrix}\color{red}{p_1} \\\color{red}{p_2} \\ \color{red}{p_3} \end{pmatrix}\)  und  \(\color{blue}{\vec{q}}=\begin{pmatrix}\color{blue}{q_1} \\\color{blue}{q_2} \\\color{blue}{q_3} \end{pmatrix}\).

Die Verknüpfung der Vektoren  \(\color{red}{\vec{p}}\)  und  \(\color{blue}{\vec{q}}\)  mit dem Verknüpfungszeichen  \(\times\)  wird folgendermaßen definiert:

\(\color{red}{\vec{p}}\times\color{blue}{\vec{q}}\)   \(=\begin{pmatrix}\color{red}{p_1} \\\color{red}{p_2} \\\color{red}{p_3} \end{pmatrix}\times\begin{pmatrix}\color{blue}{q_1} \\\color{blue}{q_2} \\\color{blue}{q_3} \end{pmatrix}\) \(=\begin{pmatrix} \color{red}{p_2}\cdot \color{blue}{q_3}\ – \color{red}{p_3}\cdot \color{blue}{q_2} \\ – (\color{red}{p_1}\cdot \color{blue}{q_3}\ – \color{red}{p_3}\cdot \color{blue}{q_1}) \\\color{red}{p_1}\cdot \color{blue}{q_2}\ – \color{red}{p_2}\cdot \color{blue}{q_1} \end{pmatrix}\).

und heißt Kreuzprodukt (oder auch Vektorprodukt) der Vektoren  \(\color{red}{\vec{p}}\)  und  \(\color{blue}{\vec{q}}\) .

Bemerkung:

Sowohl die Art der Verknüpfung als auch der Vektor, der dabei herauskommt, wird als Kreuzprodukt (oder auch Vektorprodukt) bezeichnet.

Beispiel:

\(\vec{p} = \!\begin{pmatrix} 2 \\ 3\\ {-2} \end{pmatrix}\! ;\ \vec{q} = \!\begin{pmatrix} 3 \\ {-1}\\ 4 \end{pmatrix}\) \(\quad\Rightarrow\quad \vec{n_0} = \vec{p} \times\vec{q} = \begin{pmatrix} 2 \\ 3\\ {-2} \end{pmatrix}\! \times\! \begin{pmatrix} 3 \\ {-1}\\ 4 \end{pmatrix}\) \(= \left(\begin{array}{l} 3\cdot 4\ -(-2)\cdot (-1) \\ -( 2\cdot 4 \ – (-2)\cdot 3)\\ 2\cdot (-1)\ – 3\cdot 3 \end{array}\right)\) \(= \left(\begin{array}{c} 10 \\ -14 \\ -11 \end{array}\right)\)

Kontrolle:  \(\vec{n_0}\)  muss senkrecht zu  \(\vec{p}\)  und  \(\vec{q}\)  sein!

\(\vec{n_0} \cdot\vec{p}  = \begin{pmatrix} 10 \\ -14 \\ -11 \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} 2 \\ 3\\ {-2} \end{pmatrix}\) \(= 10\cdot 2\ -14\cdot 3\ -11\cdot(-2) = 0\) \(\quad\Rightarrow\quad\vec{n_0} \perp\vec{p}\)

\(\vec{n_0} \cdot\vec{q} = \begin{pmatrix} 10 \\ -14 \\ -11 \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} 3 \\ {-1}\\ 4 \end{pmatrix}\) \(= 10\cdot 3\ -14\cdot (-1)\ -11\cdot 4 = 0\) \(\quad\Rightarrow\quad\vec{n_0} \perp\vec{q}\)

Hilfestellung, um sich dieses Schema zu merken

Es fällt auf, dass jede der drei Zeilen von  \(\vec{n_0}\) \(= \color{red}{\vec{p}}\times\color{blue}{\vec{q}}\)  eine Differenz von 2 Produkten ist. Da derartige Terme in der Mathematik eine wichtige Rolle spielen, gibt es dafür eine eigene Bezeichnung:

Der Term  \(a\cdot d\ – b\cdot c\)  heißt  Determinante der Matrix  \(\left(\begin{array}{cc} a & b\\ c  & d \end{array}\right)\).

Schreibweise:  \(det\left(\left(\begin{array}{cc} a & b\\ c  & d \end{array}\right)\right)\) \(= \left|\begin{array}{cc} a & b\\ c  & d \end{array}\right|\)  \(= a\cdot d\ – b\cdot c\)

Bei einer Matrix mit 2 Zeilen und 2 Spalten wird die Determinante als Differenz der beiden Diagonalprodukte gebildet, beginnend mit der „fallenden“ Diagonalen (von links oben nach rechts unten). Dafür ist es hilfreich, ein Kreuzchen in die Matrix einzuzeichnen (oder es sich dort vorzustellen).

\(\left|\begin{array}{c} a \\ c\end{array} {\LARGE\color{magenta}{\times}}  \begin{array}{c} b \\ d\end{array}\right|\) \(= a\cdot d\ – b\cdot c\)

Der Vektor  \(\vec{n_0}\) \(= \color{red}{\vec{p}}\times\color{blue}{\vec{q}}\)  besteht offenbar aus drei Determinanten:

\(\vec{n_0}\) \(\ =\begin{pmatrix}\color{red}{p_1} \\\color{red}{p_2} \\\color{red}{p_3} \end{pmatrix}\times\begin{pmatrix}\color{blue}{q_1} \\\color{blue}{q_2} \\\color{blue}{q_3} \end{pmatrix}\) \(=\begin{pmatrix} \color{red}{p_2}\cdot \color{blue}{q_3}\ – \color{red}{p_3}\cdot \color{blue}{q_2} \\ – (\color{red}{p_1}\cdot \color{blue}{q_3}\ – \color{red}{p_3}\cdot \color{blue}{q_1}) \\\color{red}{p_1}\cdot \color{blue}{q_2}\ – \color{red}{p_2}\cdot \color{blue}{q_1} \end{pmatrix}\)  \(=\begin{pmatrix} \left|\begin{array}{c} \color{red}{p_2} \\ \color{red}{p_3}\end{array} {\LARGE\color{magenta}{\times}}  \begin{array}{c} \color{blue}{q_2} \\ \color{blue}{q_3}\end{array}\right| \\ -\left|\begin{array}{c} \color{red}{p_1} \\ \color{red}{p_3}\end{array} {\LARGE\color{magenta}{\times}}  \begin{array}{c} \color{blue}{q_1} \\ \color{blue}{q_3}\end{array}\right| \\ \left|\begin{array}{c} \color{red}{p_1} \\ \color{red}{p_2}\end{array} {\LARGE\color{magenta}{\times}}  \begin{array}{c} \color{blue}{q_1} \\ \color{blue}{q_2}\end{array}\right| \end{pmatrix}\).

Vorschlag 1, um sich diese drei Determinanten des Kreuzprodukt-Vektors zu merken:

Man kann folgendes Schema beobachten:

Um die 3 Determinanten zu bestimmen, streicht man immer diejenige Zeile, für die man die Determinante berechnen muss, in den beiden Vektoren und bildet aus den übrig gebliebenen 4 Zahlen die Determinante.

Achtung:

Für die mittlere Zeile muss man sich bei dieser Vorgehensweise merken, dass man zusätzlich das Vorzeichen der resultierenden Determinante „umdrehen“ muss (d.h. man muss den Wert der Determinante mit -1 multiplizieren.)

Eintrag in der 1. Zeile:

1. Zeile zuhalten / ausblenden
in  \(\color{red}{\vec{p}}\)  und  \(\color{blue}{\vec{q}}\)

\(\!\begin{pmatrix}\color{lightgrey}{p_1} \\\color{red}{p_2} \\\color{red}{p_3} \end{pmatrix}\!\!\times\!\!\begin{pmatrix}\color{lightgrey}{q_1} \\\color{blue}{q_2} \\\color{blue}{q_3} \end{pmatrix}\) \(=\!\begin{pmatrix} \!\!\!\left|\begin{array}{c} \color{red}{p_2} \\ \color{red}{p_3}\end{array} {\LARGE\color{magenta}{\times}}  \begin{array}{c} \color{blue}{q_2} \\ \color{blue}{q_3}\end{array}\right| \!\! \\ \!\!\!\color{lightgrey}{-\left|\begin{array}{c} {p_1} \\ {p_3}\end{array} {\LARGE{\times}}  \begin{array}{c} {q_1} \\ {q_3}\end{array}\right|}\!\! \\ \!\!\!\color{lightgrey}{\left|\begin{array}{c} {p_1} \\ {p_2}\end{array} {\LARGE{\times}}  \begin{array}{c} {q_1} \\ {q_2}\end{array}\right|} \end{pmatrix}\)

Eintrag in der 2. Zeile:

2. Zeile zuhalten / ausblenden
in  \(\color{red}{\vec{p}}\)  und  \(\color{blue}{\vec{q}}\)

\(\!\begin{pmatrix}\color{red}{p_1} \\\color{lightgrey}{p_2} \\\color{red}{p_3} \end{pmatrix}\!\!\times\!\!\begin{pmatrix}\color{blue}{q_1} \\\color{lightgrey}{q_2} \\\color{blue}{q_3} \end{pmatrix}\) \(=\!\begin{pmatrix} \!\!\!\color{lightgrey}{\left|\begin{array}{c} {p_2} \\ {p_3}\end{array} {\LARGE{\times}}  \begin{array}{c} {q_2} \\ {q_3}\end{array}\right|} \!\!\\ \!\!\!-\left|\begin{array}{c} \color{red}{p_1} \\ \color{red}{p_3}\end{array} {\LARGE\color{magenta}{\times}}  \begin{array}{c} \color{blue}{q_1} \\ \color{blue}{q_3}\end{array}\right|\!\! \\ \!\!\!\color{lightgrey}{\left|\begin{array}{c} {p_1} \\ {p_2}\end{array} {\LARGE{\times}}  \begin{array}{c} {q_1} \\ {q_2}\end{array}\right|} \end{pmatrix}\)

Eintrag in der 3. Zeile:

3. Zeile zuhalten / ausblenden
in  \(\color{red}{\vec{p}}\)  und  \(\color{blue}{\vec{q}}\)

\(\!\begin{pmatrix}\color{red}{p_1} \\\color{red}{p_2} \\\color{lightgrey}{p_3} \end{pmatrix}\!\!\times\!\!\begin{pmatrix}\color{blue}{q_1} \\\color{blue}{q_2} \\\color{lightgrey}{q_3} \end{pmatrix}\) \(=\!\begin{pmatrix} \!\!\!\color{lightgrey}{\left|\begin{array}{c} {p_2} \\ {p_3}\end{array} {\LARGE{\times}}  \begin{array}{c} {q_2} \\ {q_3}\end{array}\right|} \!\! \\ \!\!\!\color{lightgrey}{-\left|\begin{array}{c} {p_1} \\ {p_3}\end{array} {\LARGE{\times}}  \begin{array}{c} {q_1} \\ {q_3}\end{array}\right|} \!\! \\ \!\!\!\left|\begin{array}{c} \color{red}{p_1} \\ \color{red}{p_2}\end{array} {\LARGE\color{magenta}{\times}}  \begin{array}{c} \color{blue}{q_1} \\ \color{blue}{q_2}\end{array}\right| \end{pmatrix}\)

Beispiel:

Beobachten Sie, wie für die jeweils ausgeblendete / zugehaltene Zeile die Determinante gebildet wird.

Eintrag in der 1. Zeile:  \(\begin{pmatrix} \color{lightgrey}{2} \\ 3\\ {-2} \end{pmatrix}\! \times\! \begin{pmatrix} \color{lightgrey}{3} \\ {-1}\\ 4 \end{pmatrix}\) \(= \left(\begin{array}{l} 3\cdot 4\ -(-2)\cdot (-1) \\ \color{lightgrey}{- ( 2\cdot 4\ -(-2)\cdot 3)} \\ \color{lightgrey}{2\cdot (-1)\ – 3\cdot 3} \end{array}\right)\) \(= \left(\begin{array}{c} 10 \\ \color{lightgrey}{-14} \\ \color{lightgrey}{-11} \end{array}\right)\)

Eintrag in der 2. Zeile:  \(\begin{pmatrix} 2 \\ \color{lightgrey}{3}\\ {-2} \end{pmatrix}\! \times\! \begin{pmatrix} 3 \\ \color{lightgrey}{-1}\\ 4 \end{pmatrix}\) \(= \left(\begin{array}{l} \color{lightgrey}{3\cdot 4\ – (-2)\cdot (-1)} \\ \color{red}{\bf{-}} ( 2\cdot 4\ -(-2)\cdot 3) \\ \color{lightgrey}{2\cdot (-1)\ – 3\cdot 3} \end{array}\right)\) \(= \left(\begin{array}{c} \color{lightgrey}{10} \\ -14 \\ \color{lightgrey}{-11} \end{array}\right)\)

Eintrag in der 3. Zeile:  \(\begin{pmatrix} 2 \\ 3\\ \color{lightgrey}{-2} \end{pmatrix}\! \times\! \begin{pmatrix} 3 \\ {-1}\\ \color{lightgrey}{4} \end{pmatrix}\) \(= \left(\begin{array}{l} \color{lightgrey}{3\cdot 4\ -(-2)\cdot (-1)} \\ \color{lightgrey}{- ( 2\cdot 4\ -(-2)\cdot 3)} \\ 2\cdot (-1)\ – 3\cdot 3 \end{array}\right)\) \(= \left(\begin{array}{c} \color{lightgrey}{10} \\ \color{lightgrey}{-14} \\ -11 \end{array}\right)\)

Vorschlag 2, um sich diese drei Determinanten zu merken:

Die Darstellung des Vektor  \(\vec{n_0}\) \(= \color{red}{\vec{p}}\times\color{blue}{\vec{q}}\) bestehend aus 3  Determinanten ist auch ohne das zusätzliche Minus in der mittleren Zeile möglich – dazu müssen die beiden Zeilen der mittleren Determinantenmatrix vertauscht werden:

\(\vec{n_0}\) \(\ =\begin{pmatrix}\color{red}{p_1} \\\color{red}{p_2} \\\color{red}{p_3} \end{pmatrix}\times\begin{pmatrix}\color{blue}{q_1} \\\color{blue}{q_2} \\\color{blue}{q_3} \end{pmatrix}\) \(=\begin{pmatrix} \color{red}{p_2}\cdot \color{blue}{q_3}\ – \color{red}{p_3}\cdot \color{blue}{q_2} \\ – (\color{red}{p_1}\cdot \color{blue}{q_3}\ – \color{red}{p_3}\cdot \color{blue}{q_1}) \\\color{red}{p_1}\cdot \color{blue}{q_2}\ – \color{red}{p_2}\cdot \color{blue}{q_1} \end{pmatrix}\)  \(=\begin{pmatrix} \left|\begin{array}{c} \color{red}{p_2} \\ \color{red}{p_3}\end{array} {\LARGE\color{magenta}{\times}}  \begin{array}{c} \color{blue}{q_2} \\ \color{blue}{q_3}\end{array}\right| \\ -\left|\begin{array}{c} \color{red}{p_1} \\ \color{red}{p_3}\end{array} {\LARGE\color{magenta}{\times}}  \begin{array}{c} \color{blue}{q_1} \\ \color{blue}{q_3}\end{array}\right| \\ \left|\begin{array}{c} \color{red}{p_1} \\ \color{red}{p_2}\end{array} {\LARGE\color{magenta}{\times}}  \begin{array}{c} \color{blue}{q_1} \\ \color{blue}{q_2}\end{array}\right| \end{pmatrix}\) \(=\begin{pmatrix} \left|\begin{array}{c} \color{red}{p_2} \\ \color{red}{p_3}\end{array} {\LARGE\color{magenta}{\times}}  \begin{array}{c} \color{blue}{q_2} \\ \color{blue}{q_3}\end{array}\right| \\ \left|\begin{array}{c} \color{red}{p_3} \\ \color{red}{p_1}\end{array} {\LARGE\color{magenta}{\times}}  \begin{array}{c} \color{blue}{q_3} \\ \color{blue}{q_1}\end{array}\right| \\ \left|\begin{array}{c} \color{red}{p_1} \\ \color{red}{p_2}\end{array} {\LARGE\color{magenta}{\times}}  \begin{array}{c} \color{blue}{q_1} \\ \color{blue}{q_2}\end{array}\right| \end{pmatrix}\).

Folgende Vorgehensweise ist hilfreich, um die drei benötigten Determinanten zu bestimmen:

Wir schreiben die Koordinaten aus den beiden ersten Zeilen zusätzlich als 4. und 5. Zeile unter die beiden Vektoren.

\(\begin{array}{c}
\left(\begin{array}{cc} p_1 \\ p_2\\ p_3 \end{array}\right)\\
p_1 \\ p_2
\end{array}\hspace{-4mm}
\begin{array}{c}
\\[-8 pt] \times \\[8 pt] \phantom{{\LARGE\times}} \\ \phantom{{\LARGE\times}}
\end{array}\hspace{-4mm}
\begin{array}{c}
\left(\begin{array}{cc} q_1 \\ q_2\\ q_3 \end{array}\right) \\
q_1 \\ q_2
\end{array}\)

Nun streichen wir die erste Zeile durch.

\(\require{cancel}\begin{array}{c}
\left(\begin{array}{cc} \xcancel{p_1} \\ p_2\\ p_3 \end{array}\right)\\
p_1 \\ p_2
\end{array}\hspace{-4mm}
\begin{array}{c}
\\[-8 pt] \times \\[8 pt] \phantom{{\LARGE\times}} \\ \phantom{{\LARGE\times}}
\end{array}\hspace{-4mm}
\begin{array}{c}
\left(\begin{array}{cc} \xcancel{q_1} \\ q_2\\ q_3 \end{array}\right) \\
q_1 \\ q_2
\end{array}\)

Jetzt platzieren wir drei zusätzliche Kreuzchen zwischen den beiden Vektoren, und zwar jeweils auf Höhe zwischen der 2. und 3., der 3. und 4. bzw. der 4. und 5. Zeile.

Diese Kreuzchen sind eine Hilfestellung, wie die 3 Determinanten gebildet werden, aus denen der Kreuzprodukt-Vektor  \(\color{red}{\vec{p}}\times\color{blue}{\vec{q}}\)  besteht.

\(\require{cancel}\begin{array}{c}
\left(\begin{array}{cc} \xcancel{\color{lightgrey}{p_1}} \\ p_2\\ p_3 \end{array}\right)\\
p_1 \\ p_2
\end{array}\hspace{-4mm}
\begin{array}{c}
\\[7pt] \color{lightgrey}{\times} \\[-9 pt] {\LARGE\color{magenta}{\times}} \\[-1pt] {\LARGE\color{magenta}{\times}} \\[-1pt] {\LARGE\color{magenta}{\times}} \\ \
\end{array}\hspace{-4mm}
\begin{array}{c}
\left(\begin{array}{cc} \xcancel{\color{lightgrey}{q_1}} \\ q_2\\ q_3 \end{array}\right) \\
q_1 \\ q_2
\end{array}\)

Beispiel:

Beobachten Sie in der „Nebenrechnung“, wie die 3 Determinanten gebildet werden.

\(\begin{pmatrix} 2 \\ 3\\ {-2} \end{pmatrix}\! \times\! \begin{pmatrix} 3 \\ {-1}\\ 4 \end{pmatrix}\) \(= \left(\begin{array}{l} 3\cdot 4\ -(-2)\cdot (-1) \\ (-2)\cdot 3\ – 2\cdot 4 \\ 2\cdot (-1)\ – 3\cdot 3 \end{array}\right)\) \(= \left(\begin{array}{c} 10 \\ -14 \\ -11 \end{array}\right)\)

„Nebenrechnung“:

\(\begin{array}{c}
\left(\begin{array}{c} \xcancel{\color{grey}{2}} \\ 3\\ {-2} \end{array}\right)\\
2 \\ 3
\end{array}\hspace{-4mm}
\begin{array}{c}
\\[5pt] \color{lightgrey}{\times} \\[-9 pt] {\LARGE\color{magenta}{\times}} \\[-2pt] {\LARGE\color{magenta}{\times}} \\[-2pt] {\LARGE\color{magenta}{\times}} \\ \
\end{array}\hspace{-4mm}
\begin{array}{c}
\left(\begin{array}{c} \xcancel{\color{grey}{3}} \\ {-1}\\ 4 \end{array}\right) \\
3 \\ {-1}
\end{array}\)

Aufgabe

 

 

Eigenschaften des Kreuzprodukts

In dem folgenden Geogebra-Applet liegen die Punkte P und Q in der Ebene E. Sie können

  • die Punkte A, B, C verschieben, um die Lage der Ebene E zu verändern
  • die Punkte P und Q verschieben, um die Vektoren  \(\color{DarkOrchid}{\vec{p}}\)  und  \(\color{DarkOrchid}{\vec{q}}\)  zu verändern.

Beobachten Sie, wie sich der Kreuzproduktvektor  \(\color{orange}{\vec{n}} = \color{DarkOrchid}{\vec{p}} \times \color{DarkOrchid}{\vec{q}}\)  verändert, wenn sich die Vektoren  \(\color{DarkOrchid}{\vec{p}}\)  und  \(\color{DarkOrchid}{\vec{q}}\)  verändern.

Was passiert mit  \(\color{orange}{\vec{n}}\), wenn

  • man  \(\color{DarkOrchid}{\vec{p}}\)  bzw.  \(\color{DarkOrchid}{\vec{q}}\)  länger oder kürzer macht?
  • man  \(\color{DarkOrchid}{\vec{p}}\)  und  \(\color{DarkOrchid}{\vec{q}}\)  vertauscht?
  • man die Orientierung von  \(\color{DarkOrchid}{\vec{p}}\)  bzw.  \(\color{DarkOrchid}{\vec{q}}\)  umdreht?
  • \(\color{DarkOrchid}{\vec{p}}\)  und  \(\color{DarkOrchid}{\vec{q}}\)  linear abhängig sind?

Vergleichen Sie auch die Koordinatenform der Ebenengleichung mit dem Kreuzproduktvektor  \(\color{orange}{\vec{n}}\) .

 

 

Fragen zu den Eigenschaften des Kreuzprodukts

Versuchen Sie, folgende Fragen zu beantworten, bevor Sie die Fragen anklicken.

In welche Richtung zeigt der Kreuzproduktvektor?

Ist \(\vec{n}\) das Kreuzprodukt von \(\vec{p}\) und \(\vec{q}\) (kurz: \(\vec{n}=\vec{p}\times\vec{q}\)), so gilt:

1) \(\vec{n}\) ist senkrecht zu \(\vec{p}\) und senkrecht zu \(\vec{q}\)

2) Außerdem gilt die „Rechte-Hand-Regel„:

Man hält die rechte Hand so, dass

  • der Daumen der rechten Hand die Richtung und Orientierung von \(\vec{p}\) und
  • der Zeigefinger der rechten Hand die Richtung und Orientierung von \(\vec{q}\) hat.

Beugt man nun den Mittelfinger der rechten Hand senkrecht zum Daumen und Zeigefinger der rechten Hand, so gibt der Mittelfinger die Richtung und Orientierung von \(\vec{n}\) an.

Was passiert mit dem Kreuzprodukt, wenn man beide Vektoren vertauscht?

\(\color{red}{\vec{p}}\times\color{blue}{\vec{q}}\)   \(=\begin{pmatrix}\color{red}{p_1} \\\color{red}{p_2} \\\color{red}{p_3} \end{pmatrix}\times\begin{pmatrix}\color{blue}{q_1} \\\color{blue}{q_2} \\\color{blue}{q_3} \end{pmatrix}\) \(=\begin{pmatrix} \color{red}{p_2}\cdot \color{blue}{q_3}\ – \color{red}{p_3}\cdot \color{blue}{q_2} \\ – (\color{red}{p_1}\cdot \color{blue}{q_3}\ – \color{red}{p_3}\cdot \color{blue}{q_1}) \\\color{red}{p_1}\cdot \color{blue}{q_2}\ – \color{red}{p_2}\cdot \color{blue}{q_1} \end{pmatrix}\)

\(\color{blue}{\vec{q}}\times\color{red}{\vec{p}}\)   \(=\begin{pmatrix}\color{blue}{q_1} \\\color{blue}{q_2} \\\color{blue}{q_3} \end{pmatrix}\times\begin{pmatrix}\color{red}{p_1} \\\color{red}{p_2} \\\color{red}{p_3} \end{pmatrix}\) \(=\begin{pmatrix} \color{blue}{q_2}\cdot \color{red}{p_3}\ – \color{blue}{q_3}\cdot \color{red}{p_2} \\ – (\color{blue}{q_1}\cdot \color{red}{p_3}\ – \color{blue}{q_3}\cdot \color{red}{p_1}) \\\color{blue}{q_1}\cdot \color{red}{p_2}\ – \color{blue}{q_2}\cdot \color{red}{p_1} \end{pmatrix}\)  \(=\begin{pmatrix} \color{red}{p_3}\cdot\color{blue}{q_2} \ – \color{red}{p_2}\cdot\color{blue}{q_3} \\ – (\color{red}{p_3}\cdot\color{blue}{q_1}\ -\color{red}{p_1}\color{blue}{q_3}) \\\color{red}{p_2}\cdot\color{blue}{q_1}\ -\color{red}{p_1}\cdot\color{blue}{q_2} \end{pmatrix}\) \(=-\begin{pmatrix} \color{red}{p_2}\cdot \color{blue}{q_3}\ – \color{red}{p_3}\cdot \color{blue}{q_2} \\ – (\color{red}{p_1}\cdot \color{blue}{q_3}\ – \color{red}{p_3}\cdot \color{blue}{q_1}) \\\color{red}{p_1}\cdot \color{blue}{q_2}\ – \color{red}{p_2}\cdot \color{blue}{q_1} \end{pmatrix}\)  \(=\ – \color{red}{\vec{p}}\times\color{blue}{\vec{q}}\)

Das heißt:

  • Beim Vertauschen der beiden Vektoren dreht sich die Orientierung des Kreuzprodukts um.
  • \(\color{blue}{\vec{q}}\times\color{red}{\vec{p}}\) ist der Gegenvektor von \(\color{red}{\vec{p}}\times\color{blue}{\vec{q}}\)

Was passiert mit dem Kreuzprodukt, wenn man einen der beiden Vektoren ver-k-facht?

\(\color{red}{\vec{p}}\times\color{blue}{\vec{q}}\)   \(=\begin{pmatrix}\color{red}{p_1} \\\color{red}{p_2} \\\color{red}{p_3} \end{pmatrix}\times\begin{pmatrix}\color{blue}{q_1} \\\color{blue}{q_2} \\\color{blue}{q_3} \end{pmatrix}\) \(=\begin{pmatrix} \color{red}{p_2}\cdot \color{blue}{q_3}\ – \color{red}{p_3}\cdot \color{blue}{q_2} \\ – (\color{red}{p_1}\cdot \color{blue}{q_3}\ – \color{red}{p_3}\cdot \color{blue}{q_1}) \\\color{red}{p_1}\cdot \color{blue}{q_2}\ – \color{red}{p_2}\cdot \color{blue}{q_1} \end{pmatrix}\)

Ver-k-fachung des ersten Vektors:

\((k\cdot\color{red}{\vec{p}})\times\color{blue}{\vec{q}}\)   \(=\begin{pmatrix}k\cdot\color{red}{p_1} \\k\cdot\color{red}{p_2} \\k\cdot\color{red}{p_3} \end{pmatrix}\times\begin{pmatrix}\color{blue}{q_1} \\\color{blue}{q_2} \\\color{blue}{q_3} \end{pmatrix}\) \(=\begin{pmatrix} k\cdot\color{red}{p_2}\cdot \color{blue}{q_3}\ – k\cdot\color{red}{p_3}\cdot \color{blue}{q_2} \\ – (k\cdot\color{red}{p_1}\cdot \color{blue}{q_3}\ – k\cdot\color{red}{p_3}\cdot \color{blue}{q_1}) \\k\cdot\color{red}{p_1}\cdot \color{blue}{q_2}\ – k\cdot\color{red}{p_2}\cdot \color{blue}{q_1} \end{pmatrix}\) \(=\begin{pmatrix} k\cdot(\color{red}{p_2}\cdot \color{blue}{q_3}\ – \color{red}{p_3}\cdot \color{blue}{q_2}) \\ – k\cdot(\color{red}{p_1}\cdot \color{blue}{q_3}\ – \color{red}{p_3}\cdot \color{blue}{q_1}) \\k\cdot(\color{red}{p_1}\cdot \color{blue}{q_2}\ – \color{red}{p_2}\cdot \color{blue}{q_1}) \end{pmatrix}\) \(=\ k\cdot\begin{pmatrix} \color{red}{p_2}\cdot \color{blue}{q_3}\ – \color{red}{p_3}\cdot \color{blue}{q_2} \\ – (\color{red}{p_1}\cdot \color{blue}{q_3}\ – \color{red}{p_3}\cdot \color{blue}{q_1}) \\\color{red}{p_1}\cdot \color{blue}{q_2}\ – \color{red}{p_2}\cdot \color{blue}{q_1} \end{pmatrix}\) \(=\ k\cdot (\color{red}{\vec{p}}\times\color{blue}{\vec{q}})\)

Ver-\(\ell\)-fachung des zweiten Vektors:

\(\color{red}{\vec{p}}\times (\ell\cdot\color{blue}{\vec{q}})\)   \(=\begin{pmatrix}\color{red}{p_1} \\\color{red}{p_2} \\\color{red}{p_3} \end{pmatrix}\times\begin{pmatrix}\ell\cdot\color{blue}{q_1} \\\ell\cdot\color{blue}{q_2} \\\ell\cdot\color{blue}{q_3} \end{pmatrix}\) \(=\begin{pmatrix} \color{red}{p_2}\cdot \ell\cdot\color{blue}{q_3}\ – \color{red}{p_3}\cdot \ell\cdot\color{blue}{q_2} \\ – (\color{red}{p_1}\cdot \ell\cdot\color{blue}{q_3}\ – \color{red}{p_3}\cdot \ell\cdot\color{blue}{q_1}) \\\color{red}{p_1}\cdot \ell\cdot\color{blue}{q_2}\ – \color{red}{p_2}\cdot \ell\cdot\color{blue}{q_1} \end{pmatrix}\) \(=\begin{pmatrix} \ell\cdot(\color{red}{p_2}\cdot \color{blue}{q_3}\ – \color{red}{p_3}\cdot \color{blue}{q_2}) \\ – \ell\cdot(\color{red}{p_1}\cdot \color{blue}{q_3}\ – \color{red}{p_3}\cdot \color{blue}{q_1}) \\\ell\cdot(\color{red}{p_1}\cdot \color{blue}{q_2}\ – \color{red}{p_2}\cdot \color{blue}{q_1}) \end{pmatrix}\) \(=\ \ell\cdot\begin{pmatrix} \color{red}{p_2}\cdot \color{blue}{q_3}\ – \color{red}{p_3}\cdot \color{blue}{q_2} \\ – (\color{red}{p_1}\cdot \color{blue}{q_3}\ – \color{red}{p_3}\cdot \color{blue}{q_1}) \\\color{red}{p_1}\cdot \color{blue}{q_2}\ – \color{red}{p_2}\cdot \color{blue}{q_1} \end{pmatrix}\) \(=\ \ell\cdot (\color{red}{\vec{p}}\times\color{blue}{\vec{q}})\)

Folgerung:

  • Ver-k-facht man bei einem Kreuzprodukt den ersten Vektor, so ver-k-facht man damit das Kreuzprodukt.
  • Ver-\(\ell\)-facht man bei einem Kreuzprodukt den zweiten Vektor, so ver-\(\ell\)-facht man damit das Kreuzprodukt.
  • \((k\cdot\color{red}{\vec{p}})\times (\ell\cdot\color{blue}{\vec{q}})\) \(= (k\cdot\ell)\cdot (\color{red}{\vec{p}}\times\color{blue}{\vec{q}})\)

Was passiert mit dem Kreuzprodukt, wenn beide Vektoren linear abhängig sind?

1. Überlegung:

Wenn \(\vec{p}\) linear abhängig von \(\vec{q}\) ist, lässt sich \(\vec{p}\) als k-Faches von \(\vec{q}\) darstellen: \(\vec{p} = k\cdot \vec{q}\)

\(\Rightarrow \vec{p}\times\vec{q}\)  \(= (k\cdot \vec{q})\times\vec{q}\) \(= k\cdot (\vec{q}\times\vec{q})\)

2. Überlegung:

Was ist \(\vec{q}\times\vec{q}\)?

\(\vec{q}\times\vec{q}\) \(=\begin{pmatrix}q_1 \\q_2 \\q_3\end{pmatrix}\times\begin{pmatrix}q_1 \\q_2 \\q_3\end{pmatrix}\) \(=\begin{pmatrix} q_2\cdot q_3\ – q_3\cdot q_2 \\ – (q_1\cdot q_3\ – q_3\cdot q_1) \\q_1\cdot q_2\ – q_2\cdot q_1 \end{pmatrix}\)  \(={\begin{pmatrix} 0 \\0 \\0 \end{pmatrix}}\)  \(= \vec{0}\)

Folgerung aus 1. und 2.:

Wenn \(\vec{p}\) linear abhängig von \(\vec{q}\) ist, ist das Kreuzprodukt der Nullvektor: \(\vec{p}\times\vec{q}\)  \(={\small\begin{pmatrix} 0 \\0 \\0 \end{pmatrix}}\)  \(= \vec{0}\)

Was kann man folgern, wenn das Kreuzprodukt zweier Vektoren NICHT der Nullvektor ist?

Aus der vorherigen Aufgabe wissen wir bereits:

Wenn \(\vec{p}\) linear abhängig von \(\vec{q}\) ist, ist das Kreuzprodukt der Nullvektor: \(\vec{p}\times\vec{q}\)  \(={\small\begin{pmatrix} 0 \\0 \\0 \end{pmatrix}}\)  \(= \vec{0}\)

Umgekehrt kann man folgern:

Wenn das Kreuzprodutk von \(\vec{p}\) und \(\vec{q}\) NICHT den Nullvektor ist, so kann keiner der beiden Vektoren der Nullvektor sein UND \(\vec{p}\) und \(\vec{q}\) müssen linear unabhängig sein.

Gibt es beim Kreuzprodukt ein Distributivgesetz?

\(\color{red}{\vec{p}}\times\color{blue}{\vec{q}}\)   \(=\begin{pmatrix}\color{red}{p_1} \\\color{red}{p_2} \\\color{red}{p_3} \end{pmatrix}\times\begin{pmatrix}\color{blue}{q_1} \\\color{blue}{q_2} \\\color{blue}{q_3} \end{pmatrix}\) \(=\begin{pmatrix} \color{red}{p_2}\cdot \color{blue}{q_3}\ – \color{red}{p_3}\cdot \color{blue}{q_2} \\ – (\color{red}{p_1}\cdot \color{blue}{q_3}\ – \color{red}{p_3}\cdot \color{blue}{q_1}) \\\color{red}{p_1}\cdot \color{blue}{q_2}\ – \color{red}{p_2}\cdot \color{blue}{q_1} \end{pmatrix}\)

Für \(\color{blue}{\vec{q}} = \color{blue}{\vec{a}}+\color{blue}{\vec{b}}\) gilt dann:

\(\color{red}{\vec{p}}\times (\color{blue}{\vec{a}}+\color{blue}{\vec{b}})\)   \(=\begin{pmatrix}\color{red}{p_1} \\\color{red}{p_2} \\\color{red}{p_3} \end{pmatrix}\times\begin{pmatrix} \color{blue}{a_1}+\color{blue}{b_1} \\\color{blue}{a_2}+\color{blue}{b_2} \\\color{blue}{a_3}+\color{blue}{b_3} \end{pmatrix}\) \(=\begin{pmatrix} \color{red}{p_2}\cdot (\color{blue}{a_3}+\color{blue}{b_3})\ – \color{red}{p_3}\cdot (\color{blue}{a_2}+\color{blue}{b_2}) \\ – (\color{red}{p_1}\cdot (\color{blue}{a_3}+\color{blue}{b_3})\ – \color{red}{p_3}\cdot (\color{blue}{a_1}+\color{blue}{b_1})) \\\color{red}{p_1}\cdot (\color{blue}{a_2}+\color{blue}{b_2})\ – \color{red}{p_2}\cdot (\color{blue}{a_1}+\color{blue}{b_1}) \end{pmatrix}\)

\(\quad =\begin{pmatrix} \color{red}{p_2}\cdot \color{blue}{a_3}+\color{red}{p_2}\cdot\color{blue}{b_3}\ – \color{red}{p_3}\cdot \color{blue}{a_2}-\color{red}{p_3}\cdot\color{blue}{b_2} \\ -\color{red}{p_1}\cdot \color{blue}{a_3}-\color{red}{p_1}\cdot \color{blue}{b_3}\ + \color{red}{p_3}\cdot \color{blue}{a_1}+\color{red}{p_3}\cdot \color{blue}{b_1} \\\color{red}{p_1}\cdot \color{blue}{a_2}+\color{red}{p_1}\cdot \color{blue}{b_2}\ – \color{red}{p_2}\cdot \color{blue}{a_1}\ -\color{red}{p_2}\cdot \color{blue}{b_1} \end{pmatrix}\)

\(\quad =\begin{pmatrix} \color{red}{p_2}\cdot \color{blue}{a_3}\ – \color{red}{p_3}\cdot \color{blue}{a_2}+\color{red}{p_2}\cdot\color{blue}{b_3}\ – \color{red}{p_3}\cdot\color{blue}{b_2} \\ -\color{red}{p_1}\cdot \color{blue}{a_3} + \color{red}{p_3}\cdot \color{blue}{a_1}\ – \color{red}{p_1}\cdot \color{blue}{b_3} + \color{red}{p_3}\cdot \color{blue}{b_1} \\\color{red}{p_1}\cdot \color{blue}{a_2} \ – \color{red}{p_2}\cdot \color{blue}{a_1}+ \color{red}{p_1}\cdot \color{blue}{b_2}\ – \color{red}{p_2}\cdot \color{blue}{b_1} \end{pmatrix}\)

\(\quad =\begin{pmatrix} \color{red}{p_2}\cdot \color{blue}{a_3}\ – \color{red}{p_3}\cdot \color{blue}{a_2} \\ -\color{red}{p_1}\cdot \color{blue}{a_3} + \color{red}{p_3}\cdot \color{blue}{a_1} \\\color{red}{p_1}\cdot \color{blue}{a_2} \ – \color{red}{p_2}\cdot \color{blue}{a_1} \end{pmatrix} + \begin{pmatrix} \color{red}{p_2}\cdot\color{blue}{b_3}\ – \color{red}{p_3}\cdot\color{blue}{b_2} \\  – \color{red}{p_1}\cdot \color{blue}{b_3} + \color{red}{p_3}\cdot \color{blue}{b_1} \\  \color{red}{p_1}\cdot \color{blue}{b_2}\ – \color{red}{p_2}\cdot \color{blue}{b_1} \end{pmatrix}\)

\(\quad =\left(\begin{pmatrix}\color{red}{p_1} \\\color{red}{p_2} \\\color{red}{p_3} \end{pmatrix}\times\begin{pmatrix}\color{blue}{a_1} \\\color{blue}{a_2} \\\color{blue}{a_3} \end{pmatrix}\right) + \left(\begin{pmatrix}\color{red}{p_1} \\\color{red}{p_2} \\\color{red}{p_3} \end{pmatrix}\times\begin{pmatrix}\color{blue}{b_1} \\\color{blue}{b_2} \\\color{blue}{b_3} \end{pmatrix}\right)\) \(= \color{red}{\vec{p}}\times\color{blue}{\vec{a}}+\color{red}{\vec{p}}\times\color{blue}{\vec{b}}\)

Folgerung:

Beim Kreuzprodukt gilt das Distributivgesetz \(\color{red}{\vec{p}}\times (\color{blue}{\vec{a}}+\color{blue}{\vec{b}})\) \(= (\color{red}{\vec{p}}\times\color{blue}{\vec{a}}) + (\color{red}{\vec{p}}\times\color{blue}{\vec{b}})\) .

Ist es beim Kreuzprodukt von 3 Vektoren egal, von welchen beiden Vektoren man das Kreuzprodukt zuerst bildet?

Ziel:

Wir berechnen \((\color{red}{\vec{p}}\times\color{blue}{\vec{q}})\times\color{forestgreen}{\vec{r}}\) und \(\color{red}{\vec{p}}\times (\color{blue}{\vec{q}}\times\color{forestgreen}{\vec{r}})\)  und werden feststellen, dass gilt:

  • \((\color{red}{\vec{p}}\times\color{blue}{\vec{q}})\times\color{forestgreen}{\vec{r}}\) \(= (\color{red}{\vec{p}}\cdot\color{forestgreen}{\vec{r}})\cdot \color{blue}{\vec{q}}\ – (\color{blue}{\vec{q}}\cdot\color{forestgreen}{\vec{r}})\cdot\color{red}{\vec{p}}\)
  • \(\color{red}{\vec{p}}\times (\color{blue}{\vec{q}}\times\color{forestgreen}{\vec{r}})\) \(= (\color{red}{\vec{p}}\cdot\color{forestgreen}{\vec{r}})\cdot\color{blue}{\vec{q}}\ – (\color{red}{\vec{p}}\cdot\color{blue}{\vec{q}})\cdot \color{forestgreen}{\vec{r}}\)

Das bedeutet, dass nur dann \((\color{red}{\vec{p}}\times\color{blue}{\vec{q}})\times\color{forestgreen}{\vec{r}}\) \(= \color{red}{\vec{p}}\times (\color{blue}{\vec{q}}\times\color{forestgreen}{\vec{r}})\) gilt, wenn \((\color{blue}{\vec{q}}\cdot\color{forestgreen}{\vec{r}})\cdot\color{red}{\vec{p}}\) \(= (\color{red}{\vec{p}}\cdot\color{blue}{\vec{q}})\cdot \color{forestgreen}{\vec{r}}\) ist.

\((\color{red}{\vec{p}}\times\color{blue}{\vec{q}})\times\color{forestgreen}{\vec{r}}\) kann also nur dann das Gleiche sein wie \(\color{red}{\vec{p}}\times (\color{blue}{\vec{q}}\times\color{forestgreen}{\vec{r}})\),

  • wenn \(\color{red}{\vec{p}}\) , \(\color{blue}{\vec{q}}\) oder \(\color{forestgreen}{\vec{r}}\) der Nullvektor ist
  • oder wenn \(\color{red}{\vec{p}}\) , \(\color{blue}{\vec{q}}\) und \(\color{forestgreen}{\vec{r}}\) jeweils paarweise senkrecht zueinander sind
  • oder wenn \(\color{red}{\vec{p}}\)  und  \(\color{forestgreen}{\vec{r}}\) linear abhängig sind und \(\color{red}{\vec{p}}\) \(= \frac{\color{red}{\vec{p}}\cdot\color{blue}{\vec{q}}} {\color{blue}{\vec{q}}\cdot\color{forestgreen}{\vec{r}}} \cdot \color{forestgreen}{\vec{r}}\).

In allen anderen Fällen darf man die Klammen also nicht beliebig platzieren!

1. Überprüfung mithilfe des Geogebra-CAS-Fensters

Geben Sie folgende Kommandos der Reihe nach in die jeweils unterste Zeile des CAS-Fensters ein:

p := { p1, p2, p3 }
q := { q1, q2, q3 }
r := { r1, r2, r3 }
k := Kreuzprodukt( Kreuzprodukt( p, q ), r )
s := Skalarprodukt( p, r ) q – Skalarprodukt( q, r ) p
k – s

Als Ergebnis sollte der Nullvektor {0, 0, 0} angezeigt werden, was bedeutet, dass die Vektoren k und s identisch sein müssen.

Also gilt:

\((\color{red}{\vec{p}}\times\color{blue}{\vec{q}})\times\color{forestgreen}{\vec{r}}\) \(= (\color{red}{\vec{p}}\cdot\color{forestgreen}{\vec{r}})\cdot \color{blue}{\vec{q}}\ – (\color{blue}{\vec{q}}\cdot\color{forestgreen}{\vec{r}})\cdot\color{red}{\vec{p}}\).

Geben Sie anschließend noch die folgenden Zeilen im CAS-Fenster ein:

k2 := Kreuzprodukt( p, Kreuzprodukt( q, r ) )
s2 := Skalarprodukt( p, r ) q – Skalarprodukt( p, q ) r
k2 – s2

Als Ergebnis sollte wieder der Nullvektor {0, 0, 0} angezeigt werden, was bedeutet, dass auch die Vektoren k2 und s2 identisch sind.

Damit hat man nachgerechet, dass gilt:

\(\color{red}{\vec{p}}\times (\color{blue}{\vec{q}}\times\color{forestgreen}{\vec{r}})\) \(= (\color{red}{\vec{p}}\cdot\color{forestgreen}{\vec{r}})\cdot\color{blue}{\vec{q}}\ – (\color{red}{\vec{p}}\cdot\color{blue}{\vec{q}})\cdot \color{forestgreen}{\vec{r}}\)

2. Ohne CAS (Achtung: sehr rechenaufwändig!)

\(\color{red}{\vec{p}}\times\color{blue}{\vec{q}}\)   \(=\begin{pmatrix}\color{red}{p_1} \\\color{red}{p_2} \\\color{red}{p_3} \end{pmatrix}\times\begin{pmatrix}\color{blue}{q_1} \\\color{blue}{q_2} \\\color{blue}{q_3} \end{pmatrix}\) \(=\begin{pmatrix} \color{red}{p_2}\cdot \color{blue}{q_3}\ – \color{red}{p_3}\cdot \color{blue}{q_2} \\ – (\color{red}{p_1}\cdot \color{blue}{q_3}\ – \color{red}{p_3}\cdot \color{blue}{q_1}) \\\color{red}{p_1}\cdot \color{blue}{q_2}\ – \color{red}{p_2}\cdot \color{blue}{q_1} \end{pmatrix}\)

\((\color{red}{\vec{p}}\times\color{blue}{\vec{q}})\times\color{forestgreen}{\vec{r}}\) \(=\begin{pmatrix} \color{red}{p_2}\cdot \color{blue}{q_3}\ – \color{red}{p_3}\cdot \color{blue}{q_2} \\ – (\color{red}{p_1}\cdot \color{blue}{q_3}\ – \color{red}{p_3}\cdot \color{blue}{q_1}) \\\color{red}{p_1}\cdot \color{blue}{q_2}\ – \color{red}{p_2}\cdot \color{blue}{q_1} \end{pmatrix}\times\begin{pmatrix}\color{forestgreen}{r_1} \\\color{forestgreen}{r_2} \\\color{forestgreen}{r_3} \end{pmatrix} \)

\(=\begin{pmatrix} -(\color{red}{p_1}\cdot \color{blue}{q_3}\ – \color{red}{p_3}\cdot \color{blue}{q_1})\cdot \color{forestgreen}{r_3}\ – (\color{red}{p_1}\cdot \color{blue}{q_2}\ – \color{red}{p_2}\cdot \color{blue}{q_1})\cdot \color{forestgreen}{r_2}\\ -((\color{red}{p_2}\cdot \color{blue}{q_3}\ – \color{red}{p_3}\cdot \color{blue}{q_2})\cdot \color{forestgreen}{r_3}\ – (\color{red}{p_1}\cdot \color{blue}{q_2}\ – \color{red}{p_2}\cdot \color{blue}{q_1})\cdot \color{forestgreen}{r_1})\\ (\color{red}{p_2}\cdot \color{blue}{q_3}\ – \color{red}{p_3}\cdot \color{blue}{q_2})\cdot \color{forestgreen}{r_2} +(\color{red}{p_1}\cdot \color{blue}{q_3}\ – \color{red}{p_3}\cdot \color{blue}{q_1})\cdot \color{forestgreen}{r_1}    \end{pmatrix}\)

\(=\begin{pmatrix} -\color{red}{p_1}\cdot \color{blue}{q_3}\cdot \color{forestgreen}{r_3} + \color{red}{p_3}\cdot \color{blue}{q_1}\cdot \color{forestgreen}{r_3}\ – \color{red}{p_1}\cdot \color{blue}{q_2}\cdot \color{forestgreen}{r_2} + \color{red}{p_2}\cdot \color{blue}{q_1}\cdot \color{forestgreen}{r_2}\\ – \color{red}{p_2}\cdot \color{blue}{q_3}\cdot \color{forestgreen}{r_3} + \color{red}{p_3}\cdot \color{blue}{q_2}\cdot \color{forestgreen}{r_3}\ + \color{red}{p_1}\cdot \color{blue}{q_2}\cdot \color{forestgreen}{r_1}\ – \color{red}{p_2}\cdot \color{blue}{q_1}\cdot \color{forestgreen}{r_1}\\ \color{red}{p_2}\cdot \color{blue}{q_3}\cdot \color{forestgreen}{r_2}\ – \color{red}{p_3}\cdot \color{blue}{q_2}\cdot \color{forestgreen}{r_2} +\color{red}{p_1}\cdot \color{blue}{q_3}\cdot \color{forestgreen}{r_1} \ – \color{red}{p_3}\cdot \color{blue}{q_1}\cdot \color{forestgreen}{r_1}  \end{pmatrix}\)

\(=\begin{pmatrix} -\color{red}{p_1}\cdot \color{blue}{q_3}\cdot \color{forestgreen}{r_3} + \color{red}{p_3}\cdot \color{blue}{q_1}\cdot \color{forestgreen}{r_3}\ – \color{red}{p_1}\cdot \color{blue}{q_2}\cdot \color{forestgreen}{r_2} + \color{red}{p_2}\cdot \color{blue}{q_1}\cdot \color{forestgreen}{r_2}\\ – \color{red}{p_2}\cdot \color{blue}{q_3}\cdot \color{forestgreen}{r_3} + \color{red}{p_3}\cdot \color{blue}{q_2}\cdot \color{forestgreen}{r_3}\ + \color{red}{p_1}\cdot \color{blue}{q_2}\cdot \color{forestgreen}{r_1}\ – \color{red}{p_2}\cdot \color{blue}{q_1}\cdot \color{forestgreen}{r_1}\\ \color{red}{p_2}\cdot \color{blue}{q_3}\cdot \color{forestgreen}{r_2}\ – \color{red}{p_3}\cdot \color{blue}{q_2}\cdot \color{forestgreen}{r_2} +\color{red}{p_1}\cdot \color{blue}{q_3}\cdot \color{forestgreen}{r_1} \ – \color{red}{p_3}\cdot \color{blue}{q_1}\cdot \color{forestgreen}{r_1}  \end{pmatrix}\) \(+ \begin{pmatrix}\color{red}{p_1}\cdot \color{blue}{q_1}\cdot \color{forestgreen}{r_1}\ – \color{red}{p_1}\cdot \color{blue}{q_1}\cdot \color{forestgreen}{r_1} \\\color{red}{p_2}\cdot \color{blue}{q_2}\cdot \color{forestgreen}{r_2}\ – \color{red}{p_2}\cdot \color{blue}{q_2}\cdot \color{forestgreen}{r_2} \\\color{red}{p_3}\cdot \color{blue}{q_3}\cdot \color{forestgreen}{r_3}\ – \color{red}{p_3}\cdot \color{blue}{q_3}\cdot \color{forestgreen}{r_3} \end{pmatrix}\)

\(=\begin{pmatrix} (\color{red}{p_1}\cdot \color{forestgreen}{r_1}+\color{red}{p_2}\cdot \color{forestgreen}{r_2}+\color{red}{p_3}\cdot \color{forestgreen}{r_3}) \cdot \color{blue}{q_1}\  –    (\color{blue}{q_1}\cdot \color{forestgreen}{r_1}+\color{blue}{q_2}\cdot \color{forestgreen}{r_2}+\color{blue}{q_3}\cdot \color{forestgreen}{r_3}) \cdot \color{red}{p_1}\\ (\color{red}{p_1}\cdot \color{forestgreen}{r_1}+\color{red}{p_2}\cdot \color{forestgreen}{r_2}+\color{red}{p_3}\cdot \color{forestgreen}{r_3}) \cdot \color{blue}{q_2}\ –  (\color{blue}{q_1}\cdot \color{forestgreen}{r_1}+\color{blue}{q_2}\cdot \color{forestgreen}{r_2}+\color{blue}{q_3}\cdot \color{forestgreen}{r_3}) \cdot \color{red}{p_2}\\ (\color{red}{p_1}\cdot \color{forestgreen}{r_1}+\color{red}{p_2}\cdot \color{forestgreen}{r_2}+\color{red}{p_3}\cdot \color{forestgreen}{r_3}) \cdot \color{blue}{q_3}\ – (\color{blue}{q_1}\cdot \color{forestgreen}{r_1}+\color{blue}{q_2}\cdot \color{forestgreen}{r_2}+\color{blue}{q_3}\cdot \color{forestgreen}{r_3}) \cdot \color{red}{p_3}\\  \end{pmatrix}\)

\(= (\color{red}{\vec{p}}\cdot\color{forestgreen}{\vec{r}})\cdot \color{blue}{\vec{q}}\ – (\color{blue}{\vec{q}}\cdot\color{forestgreen}{\vec{r}})\cdot\color{red}{\vec{p}}\)

Folgerung:

\((\color{red}{\vec{p}}\times\color{blue}{\vec{q}})\times\color{forestgreen}{\vec{r}}\) \(= (\color{red}{\vec{p}}\cdot\color{forestgreen}{\vec{r}})\cdot \color{blue}{\vec{q}}\ – (\color{blue}{\vec{q}}\cdot\color{forestgreen}{\vec{r}})\cdot\color{red}{\vec{p}}\)

Setzt man die Klammern aber anders, so erhält man folgenden Zusammenhang:

\(\color{red}{\vec{p}}\times (\color{blue}{\vec{q}}\times\color{forestgreen}{\vec{r}})\) \(=\ – (\color{blue}{\vec{q}}\times\color{forestgreen}{\vec{r}})\times\color{red}{\vec{p}}\)  \(=\ -\left((\color{blue}{\vec{q}}\cdot\color{red}{\vec{p}})\cdot \color{forestgreen}{\vec{r}}\ – (\color{forestgreen}{\vec{r}}\cdot\color{red}{\vec{p}})\cdot\color{blue}{\vec{q}}\right)\) \(= (\color{red}{\vec{p}}\cdot\color{forestgreen}{\vec{r}})\cdot\color{blue}{\vec{q}}\ – (\color{red}{\vec{p}}\cdot\color{blue}{\vec{q}})\cdot \color{forestgreen}{\vec{r}}\)

Zusammenfassung:

\((\color{red}{\vec{p}}\times\color{blue}{\vec{q}})\times\color{forestgreen}{\vec{r}}\) \(= (\color{red}{\vec{p}}\cdot\color{forestgreen}{\vec{r}})\cdot \color{blue}{\vec{q}}\ – (\color{blue}{\vec{q}}\cdot\color{forestgreen}{\vec{r}})\cdot\color{red}{\vec{p}}\)

\(\color{red}{\vec{p}}\times (\color{blue}{\vec{q}}\times\color{forestgreen}{\vec{r}})\) \(= (\color{red}{\vec{p}}\cdot\color{forestgreen}{\vec{r}})\cdot\color{blue}{\vec{q}}\ – (\color{red}{\vec{p}}\cdot\color{blue}{\vec{q}})\cdot \color{forestgreen}{\vec{r}}\)

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