Abstände von Punkten und Geraden

Benötigtes Grundwissen

Voraussetzung für ein erfolgreiches Verstehen dieses Kapitels sind grundlegende Kenntnisse zu den folgenden Themen:

• Skalarprodukt
• Kreuzprodukt (Normalenvektor zweier Vektoren)
• Betrag des Kreuzprodukts zweier Vektoren (Parallelogramm-Flächeninhalt)
• Spatprodukt von drei Vektoren (Parallelotop-Volumen)
• Normalenvektoren von Geraden und Ebenen
• Normalenform, Koordinatenform und Parameterform der Ebenengleichung
• Berechnung der Koordinaten des Schnittpunkts einer Geraden und einer Ebene

Überblick zu den Inhalten dieses Kapitels

(1) Berechnung des Abstands eines Punkts P von einer Geraden g

(1.1) mithilfe eines geeigneten Parallelogramm-Flächeninhalts (ohne Ermittlung des Lotfußpunkts)

(1.2) mithilfe einer geeigneten zu g senkrechten Hilfsebene zur Ermittlung des Lotfußpunkts von P bzgl. g

(2) Anwendungen für (1)

(2.1) Ermittlung der Koordinaten des Spiegelpunkts eines Punkts P bzgl. einer Geraden g

(2.2) Berechnung des Abstands zweier paralleler Geraden g und h

(1) Berechnung des Abstands eines Punkts P von einer Geraden g

(1.1) Abstand eines Punkts von einer Geraden (ohne Ermittlung des Lotfußpunkts)

Aufgabe

a) Beobachten Sie in dem folgenden Geogebra-Applet, wie der Abstand eines Punkts P von einer Geraden g rechnerisch ermittelt werden kann, indem der Flächeninhalt eines geeigneten Parallelogramms verwendet wird, dessen Höhe mit dem gesuchten Abstand überseinstimmt.

• Sie können sich schrittweise durch die Beschreibung bewegen, indem Sie wiederholt auf die blaue Schaltfläche mit dem grünen Pfeil klicken.

• Die Lage der Punkte A, B und P können Sie verändern (mehrmals anklicken, um zwischen horizontaler und vertikaler Verschiebung umzuschalten, oder auf der Tastatur die Pfeiltasten bzw. Bild auf und Bild ab verwenden – auch in Kombination mit der Umschalt-Taste für eine feinere Schrittweite).

b) Um zu prüfen, ob Sie die Methode verstanden haben, sollten Sie für weitere Situationen (dazu auf die „Neu“-Schaltfläche klicken) versuchen, die Lösung selber zu berechnen. Anschließend können Sie Ihre Lösung mit den Werten aus der Beschreibung vergleichen.

(1.2) Abstand eines Punkts von einer Geraden (mithilfe des Lotfußpunkts)

Aufgabe

a) Beobachten Sie in dem folgenden Geogebra-Applet, wie der Abstand eines Punkts P von einer Geraden g rechnerisch ermittelt werden kann, indem mithilfe einer geeigneten zu g senkrechten Hilfsebene H der Lotfußpunkt von P bzgl. g bestimmt wird, so dass anschließend der gesuchte Abstand berechnet werden kann.

• Sie können sich schrittweise durch die Beschreibung bewegen, indem Sie wiederholt auf die blaue Schaltfläche mit dem grünen Pfeil klicken.

• Die Lage der Punkte A, B und P können Sie verändern (mehrmals anklicken, um zwischen horizontaler und vertikaler Verschiebung umzuschalten, oder auf der Tastatur die Pfeiltasten bzw. Bild auf und Bild ab verwenden – auch in Kombination mit der Umschalt-Taste für eine feinere Schrittweite).

b) Um zu prüfen, ob Sie die Methode verstanden haben, sollten Sie für weitere Situationen (dazu auf die „Neu“-Schaltfläche klicken) versuchen, die Lösung selber zu berechnen. Anschließend können Sie Ihre Lösung mit den Werten aus der Beschreibung vergleichen.

(2) Anwendungen für (1)

(2.1) Spiegelpunkt eines Punkts bzgl. einer Geraden (mithilfe des Lotfußpunkts)

Aufgabe

a) Um die Koordinaten des Spiegelpunkts eines Punkts P bzgl. einer Geraden g berechnen zu können, muss man zunächst den Lotfußpunkt von P bzgl. der Geraden g ermitteln. Beobachten Sie eine dafür hilreiche Vorgehensweise in dem folgenden Geogebra-Applet.

• Sie können sich schrittweise durch die Beschreibung bewegen, indem Sie wiederholt auf die blaue Schaltfläche mit dem grünen Pfeil klicken.

• Die Lage der Punkte A, B und P können Sie verändern (mehrmals anklicken, um zwischen horizontaler und vertikaler Verschiebung umzuschalten, oder auf der Tastatur die Pfeiltasten bzw. Bild auf und Bild ab verwenden – auch in Kombination mit der Umschalt-Taste für eine feinere Schrittweite).

b) Um zu prüfen, ob Sie die Methode verstanden haben, sollten Sie für weitere Situationen (dazu auf die „Neu“-Schaltfläche klicken) versuchen, die Lösung selber zu berechnen. Anschließend können Sie Ihre Lösung mit den Werten aus der Beschreibung vergleichen.

(2.2) Abstand zweier paralleler Geraden

Aufgabe

a) Um den Abstand zweier paralleler Geraden zu berechnen, genügt es aufgrund der Parallelität beider Geraden, den Abstand eines einzigen Punkts der einen Geraden von der anderen Geraden zu berechnen. Um den Abstand eines Punkts von einer Geraden zu berechnen kann man

• entweder ein geeignetes Parallelogramm zu Hilfe nehmen,

• oder den Lotfußpunkt ermitteln.

Beobachten Sie beide Vorgehensweisen in dem folgenden Geogebra-Applet. Um zwischen den Vorgehensweisen umzuschalten, klicken Sie auf die blaue „Lsg“-Schaltfläche.

• Sie können sich schrittweise durch die Beschreibung bewegen, indem Sie wiederholt auf die blaue Schaltfläche mit dem grünen Pfeil klicken.

• Die Lage der Punkte A, B und C können Sie verändern (mehrmals anklicken, um zwischen horizontaler und vertikaler Verschiebung umzuschalten, oder auf der Tastatur die Pfeiltasten bzw. Bild auf und Bild ab verwenden – auch in Kombination mit der Umschalt-Taste für eine feinere Schrittweite).

b) Um zu prüfen, ob Sie die Methode verstanden haben, sollten Sie für weitere Situationen (dazu auf die „Neu“-Schaltfläche klicken) versuchen, die Lösung selber zu berechnen. Anschließend können Sie Ihre Lösung mit den Werten aus der Beschreibung vergleichen.