Der Betrag des Kreuzprodukts zweier Vektoren

Überblick zu den Inhalten dieses Kapitels

(1) Vorstellung der Formel für den Betrag des Kreuzprodukts und Vergleich mit der Formel für das Skalarprodukt

(2) Anwendungen für den Betrag des Kreuzprodukts zweier Vektoren

(2.1) Anwendung: Flächeninhalt eines Dreiecks oder Parallelogramms

(2.2) Anwendung: Lineare Unabhängigkeit von 2 dreidimensionalen Vektoren

(2.3) Anwendung: Abstand eines Punktes von einer Geraden

(3) Beweis für die Formel des Kreuzprodukt-Betrags

Die Formel für den Betrag des Kreuzprodukts

Man kann zeigen, dass für den Betrag des Kreuzprodukts \(|\vec{p}\times\vec{q}|\) folgende Gleichung gilt:

Betrag des Kreuzprodukts zweier Vektoren:

\(|\vec{p}\times\vec{q}| = sin(\require{AMSmath}\require{AMSsymbols}\sphericalangle(\vec{p}, \vec{q})) \cdot |\vec{p}| \cdot |\vec{q}| \)

\(\phantom{A}\)
Die Begründung dafür ist relativ rechaufwändig und wird  weiter unten mithilfe eines Computer-Algebra-Systems vorgeführt.

Beim Skalarprodukt sind wir bereits auf eine verblüffend ähnliche Gleichung gestoßen:

Für das Skalarprodukt gilt:

\(\vec{p}\cdot\vec{q} = cos(\require{AMSmath}\require{AMSsymbols}\sphericalangle(\vec{p}, \vec{q})) \cdot |\vec{p}| \cdot |\vec{q}| \)

Anwendungen für den Betrag des Kreuzprodukts zweier Vektoren

Mithilfe der Gleichung  \(|\vec{p}\times\vec{q}| = sin(\require{AMSmath}\require{AMSsymbols}\sphericalangle(\vec{p}, \vec{q})) \cdot |\vec{p}| \cdot |\vec{q}| \)  kann man z.B. folgende Aufgaben lösen:

  • Berechnung des Flächeninhalt eines Dreiecks oder Parallelogramms
  • Untersuchung von 2 dreidimensionalen Vektoren auf lineare Unabhängigkeit
  • Abstand eines Punktes von einer Geraden

Anwendung: Flächeninhalt eines Dreiecks oder Parallelogramms

Beobachten Sie in dem folgenden Geogebra-Applet, welcher Zusammenhang zwischen dem Betrag des Kreuzprodukts und dem Flächeninhalt eines Dreiecks bzw. Parallelogramms besteht.

Klicken Sie wiederholt auf die blaue Schaltfläche mit dem Pfeil nach rechts, um schrittweise zu verfolgen, wie dieser Zusammenhang hergeleitet werden kann.

Lassen Sie sich außerdem den Betrag des Kreuzproduktvektors anzeigen (Häkchen setzen bei \(\vec{p}\times\vec{q}\)).

Die Ansicht kann gedreht werden (rechte Maustaste gedrückt halten und Maus bewegen).

 

 

Geometrische Interpretation des Betrags des Kreuzprodukts zweier Vektoren:

Ein Parallelogramm, das von den Vektoren  \(\vec{p}\)  und  \(\vec{q}\)  „aufgespannt“ wird, hat den Flächeninhalt  \(|\vec{p}\times\vec{q}|\).

Ein Dreieck, das von den Vektoren  \(\vec{p}\)  und  \(\vec{q}\)  „aufgespannt“ wird, hat den Flächeninhalt  \(\frac{1}{2}\cdot|\vec{p}\times\vec{q}|\).

Anwendung: Lineare Unabhängigkeit von 2 dreidimensionalen Vektoren

Aufgabe:

Versuchen Sie, folgende Fragen zu beantworten:

1) Was passiert mit dem Flächeninhalt \(|\vec{p}\times\vec{q}|\), wenn \(\vec{p}\) und \(\vec{q}\) linear abhängig sind?

1. Überlegung:

Wenn \(\vec{p}\) linear abhängig von \(\vec{q}\) ist, lässt sich \(\vec{p}\) als k-Faches von \(\vec{q}\) darstellen: \(\vec{p} = k\cdot \vec{q}\)

\(\Rightarrow \vec{p}\times\vec{q}\)  \(= (k\cdot \vec{q})\times\vec{q}\) \(= k\cdot (\vec{q}\times\vec{q})\)

2. Überlegung:

Was ist \(\vec{q}\times\vec{q}\)?

\(\vec{q}\times\vec{q}\) \(=\begin{pmatrix}q_1 \\q_2 \\q_3\end{pmatrix}\times\begin{pmatrix}q_1 \\q_2 \\q_3\end{pmatrix}\) \(=\begin{pmatrix} q_2\cdot q_3\ – q_3\cdot q_2 \\ – (q_1\cdot q_3\ – q_3\cdot q_1) \\q_1\cdot q_2\ – q_2\cdot q_1 \end{pmatrix}\)  \(=\begin{pmatrix} 0 \\0 \\0 \end{pmatrix}\)  \(= \vec{0}\)

Folgerung aus 1. und 2.:

Wenn \(\vec{p}\) linear abhängig von \(\vec{q}\) ist, ist das Kreuzprodukt der Nullvektor: \(\vec{p}\times\vec{q}\)  \(=\begin{pmatrix} 0 \\0 \\0 \end{pmatrix}\)  \(= \vec{0}\)

Daraus folgt, dass \(|\vec{p}\times\vec{q}|=0\)  ist (d.h. der Flächeninhalt des Parallelogramms ist 0).

2) Was folgt für \(\vec{p}\) und \(\vec{q}\), wenn man feststellt, dass \(|\vec{p}\times \vec{q}|\) = 0 ist?

Voraussetzung:

  • \(\vec{p}\) und \(\vec{q}\) sind sinnvollerweise beide nicht der Nullvektor.
  • \(\alpha\) bezeichnet im Folgenden die Größe des Winkels zwischen \(\vec{p}\) und \(\vec{q}\)
  • Es gilt: \(|\vec{p}\times\vec{q}|\) \(= sin(\alpha)\cdot |\vec{p}|\cdot |\vec{q}|\)

Folgerung:

Wenn man feststellt, dass \(|\vec{p}\times\vec{q}|=0\) ist, dann folgt: \( sin(\alpha)\cdot |\vec{p}|\cdot |\vec{q}| = 0\).

Da aber \(\vec{p}\) und \(\vec{q}\) beide nicht der Nullvektor sind, muss \( sin(\alpha)\) = 0 sein.

Das ist nur möglich, wenn \(\vec{p}\) und \(\vec{q}\) linear abhängig sind.

Also ist \(\alpha=0^{\circ}\) oder  \(\alpha=180^{\circ}\).

Folgerungen:

Sind \(\vec{p}\) und \(\vec{q}\) dreidimensionale Pfeilvektoren, so gilt:

  • \(\vec{p}\) und \(\vec{q}\) sind genau dann linear abhängig, wenn \(|\vec{p}\times\vec{q}| = 0\) ist.
  • \(\vec{p}\) und \(\vec{q}\) sind genau dann linear abhängig, wenn \(\vec{p}\times\vec{q} = \vec{0}\) ist.
  • \(\vec{p}\) und \(\vec{q}\) sind genau dann linear unabhängig, wenn wenigstens eine der Koordinaten von \(\vec{p}\times\vec{q}\) nicht 0 ist.

Anwendung: Abstand eines Punktes von einer Geraden

Aufgabe:

Gegeben sind zwei Punkte A und P, die beide auf der Geraden g liegen. Gegeben ist außerdem ein Punkt Q.

Es soll der Abstand des Punkts Q von der Geraden g berechnet werden.

Überlegen Sie zuerst, wie man mithilfe eines geeigneten Parallelogramms den gesuchten Abstand von Q zu g ermitteln könnte.

In dem folgenden Geogebra-Applet können Sie eine mögliche Vorgehensweise Schritt für Schritt beobachten.

 

 

Beweis für die Gleichung \(|\vec{p}\times\vec{q}| = sin(\require{AMSsymbols}\sphericalangle(\vec{p}, \vec{q})) \cdot |\vec{p}| \cdot |\vec{q}| \)

Um diese Behauptung beweisen zu können, benötigen wir folgendes Hintergrundwissen.

1) \(sin(\alpha)^2+cos(\alpha)^2=1\)

2) \(\vec{p}\cdot\vec{q}=|\vec{p}|\cdot |\vec{q}|\cdot\cos(\alpha)\), wobei \(\alpha\) der Zwischenwinkel von \(\vec{p}\) und \(\vec{q}\) ist.

3) \(|\vec{p}|^2 = {p_1}^2+{p_2}^2+{p_3}^2\), \(\ \ |\vec{q}|^2 = {q_1}^2+{q_2}^2+{q_3}^2\)

Außerdem müssen wir vorher noch die folgende Aufgabe lösen.

Aufgabe (zur Herleitung für den Betrag des Kreuzprodukts):

Zeigen Sie, dass \(|\vec{p}\times\vec{q}|^2 + (\vec{p}\cdot\vec{q})^2\) das gleiche ist wie \(|\vec{p}|^2 \cdot |\vec{q}|^2\).

Lösung:

Aufgrund des hohen Rechenaufwands nehmen wir uns ein CAS-System (Geogebra) zur Hilfe.

Geben Sie in dem Geogebra-CAS-Fenster der Reihe nach in die jeweils unterste freie Zeile folgende Kommandos ein:

p :=
q :=
n := Kreuzprodukt( p, q )
k := Skalarprodukt( n, n ) + Skalarprodukt( p, q )^2
Faktorisiere( k )

Wenn Sie alles korrekt eingegeben haben, sollte als letztes Ergebnis (evtl. in anderer Reihenfolge) folgender Term erscheinen:

\((p_1^{2} + p_2^{2} + p_3^{2}) \; (q_1^{2} + q_2^{2} + q_3^{2} )\)

Das ist aber nichts anderes als \(|\vec{p}|^2 \cdot |\vec{q}|^2\).

Wir stellen also fest:

\(|\vec{p}\times\vec{q}|^2 + (\vec{p}\cdot\vec{q})^2\)  \(= |\vec{p}|^2 \cdot |\vec{q}|^2\)

CAS-Eingabe-Bereich (Oder HIER klicken für eigenes CAS-Fenster)

 

 

Wir teilen beide Seiten durch \(|\vec{p}|^2 \cdot |\vec{q}|^2\).

\(\Rightarrow \dfrac{|\vec{p}\times\vec{q}|^2}{|\vec{p}|^2 \cdot |\vec{q}|^2} + \dfrac{(\vec{p}\cdot\vec{q})^2}{|\vec{p}|^2 \cdot |\vec{q}|^2} \)  \(= 1\)

Wir erinnern uns, dass gilt: \(\dfrac{(\vec{p}\cdot\vec{q})}{|\vec{p}| \cdot |\vec{q}|} \) \(= cos(\alpha)\), wobei \(\alpha\) der Zwischenwinkel von \(\vec{p}\) und \(\vec{q}\) ist.

Jetzt erinnern wir uns außerdem daran, dass gilt: \(sin(\alpha)^2+cos(\alpha)^2=1\)

\(\Rightarrow \dfrac{|\vec{p}\times\vec{q}|^2}{|\vec{p}|^2 \cdot |\vec{q}|^2} + cos(\alpha)^2\) \(= 1\)

\(\phantom{\Rightarrow}\ \ \ sin(\alpha)^2 \ \ + cos(\alpha)^2=1\)

\(\Rightarrow \dfrac{|\vec{p}\times\vec{q}|^2}{|\vec{p}|^2 \cdot |\vec{q}|^2}\) \(= sin(\alpha)^2\)

\(\Rightarrow |\vec{p}\times\vec{q}| = |sin(\alpha)| \cdot |\vec{p}| \cdot |\vec{q}| \)

Da ein Zwischenwinkel zweier Vektoren im 3-Dimensionalen nur zwischen 0° und 180° groß sein kann, ist \(sin(\alpha)\) hier garantiert nicht negativ, also sind die Betragstriche bei \(sin(\alpha)\) überflüssig.

\(\Rightarrow |\vec{p}\times\vec{q}| = sin(\alpha) \cdot |\vec{p}| \cdot |\vec{q}| \)

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