Senkrechte Vektoren (Normalenvektoren)

Überblick zu den Inhalten dieses Kapitels

(1) Ausblick: Anwendungen für senkrechte Vektoren (Normalenvektoren)

(2) Definitionen: senkrechte Vektoren, Normalenvektoren

(3) Veranschaulichung: Normalenvektoren von Geraden

(4) Veranschaulichung: Normalenvektoren von Ebenen

(5) Nützliche Aussagen zu senkrechten Vektoren

Ausblick: Anwendungen für senkrechte Vektoren (Normalenvektoren)

Die Fähigkeiten, Vektoren zu erkennen und zu finden, die zu anderen Vektoren, Geraden oder Ebenen senkrecht stehen, werden zum Beispiel für die folgenden Anwendungen benötigt (sie werden in den nächsten Kapiteln behandelt):

Aufstellen und Umwandeln von Ebenengleichungen

  • Schnelle Ermittlung der Koordinatenform
  • Umwandlung der Parameterform in die Koordinatenform (und umgekehrt)

Größe von Zwischenwinkeln berechnen

  • Größe des Zwischenwinkels einer Geraden und einer Ebene
  • Größe des Zwischenwinkels zweier sich schneidender Ebenen

Ermitteln des Punktes (Lotfußpunkt) auf einer Geraden oder Ebene, der einem anderen Objekt am nahsten liegt

  • Den zu einem gegebenen Punkt am nächsten liegenden Punkt einer Geraden oder Ebene ermitteln
  • Spiegeln eines gegebenen Punkts an einer gegebenen Geraden oder Ebene
  • Gleichung einer Hilfsgeraden aufstellen, die senkrecht zu einer gegebenen Ebene durch einen gegebenen Punkt verläuft
  • Gleichungen von Hilfsebenen aufstellen, die senkrecht zu einer gegebenen Geraden durch einen gegebenen Punkt verläuft

Kleinste Entfernung (Abstand) zweier Objekte berechnen

  • Abstand eines gegebenen Punkts von einer gegebebenen Geraden ermitteln
  • Abstand eines gegebenen Punkts von einer gegebebenen Ebene ermitteln
  • Abstand zweier paralleler Ebenen oder paralleler Geraden oder windschiefer Geraden ermitteln

Definition wichtiger Begriffe

Senkrechte Vektoren

Zwei Pfeilvektoren \(\require{AMSmath}\vec{a}\) und \(\vec{b}\) heißen genau dann senkrecht zueinander (oder auch orthogonal zueinander), wenn ihr Zwischenwinkel ein rechter Winkel ist, also wenn \(\require{AMSsymbols}\sphericalangle (\vec{a}, \vec{b})\) = 90°. Man schreibt dann kurz: \(\vec{a} \perp \vec{b}\).

Normalenvektor

  • Steht ein Vektor \(\vec{n}\) senkrecht zu einem Vektor \(\vec{a}\), so nennt man \(\vec{n}\) auch Normalenvektor des Vektors \(\vec{a}\).
  • Steht ein Vektor \(\vec{n}\) senkrecht zu einer Geraden g, so nennt man \(\vec{n}\) auch Normalenvektor der Geraden g.
  • Steht ein Vektor \(\vec{n}\) senkrecht zu einer Ebene E, so nennt man \(\vec{n}\) auch Normalenvektor der Ebene E.

Veranschaulichung: Normalenvektoren von Geraden

Wie man Normalenvektoren von Geraden rechnerisch ermitteln kann, wird in einem nachfolgenden Kapitel genauer untersucht.

 

 

Veranschaulichung: Normalenvektoren von Ebenen

Wie man Normalenvektoren von Ebenen rechnerisch ermitteln kann, wird in einem nachfolgenden Kapitel genauer untersucht.

 

 

Nützliche Aussagen zu senkrechten Vektoren

Begründen Sie die folgenden Aussagen:

Wenn  \(\vec{a} \perp \vec{b}\)  gilt, dann ist  cos\((\require{AMSsymbols}\sphericalangle (\vec{a}, \vec{b}))\) = 0.

Wenn \(\vec{a} \perp \vec{b}\) gilt, dann ist \(\sphericalangle (\vec{a}, \vec{b})\) = 90°.

Da cos(90°) = 0, folgt: cos\((\sphericalangle (\vec{a}, \vec{b}))\) = 0.

Wenn  \(\vec{a} \perp \vec{b}\)  gilt, dann ist  \(\vec{a}\cdot\vec{b} = 0\).

Es gilt: \(\vec{a}\cdot\vec{b}\) \(= |\vec{a}|\cdot |\vec{b}|\cdot cos(\sphericalangle (\vec{a}, \vec{b}))\) .

Wenn \(\vec{a} \perp \vec{b}\) gilt, dann ist cos\((\sphericalangle (\vec{a}, \vec{b}))\) = 0.

Also folgt: \(\vec{a}\cdot\vec{b}\) \(= |\vec{a}|\cdot |\vec{b}|\cdot 0 = 0\) .

Wenn  \(\vec{a}\cdot\vec{b} = 0\)  und weder  \(\vec{a}\)  noch  \(\vec{b}\)  der Nullvektor ist, dann gilt:  \(\vec{a} \perp \vec{b}\).

Es gilt: \(\vec{a}\cdot\vec{b}\) \(= |\vec{a}|\cdot |\vec{b}|\cdot cos(\sphericalangle (\vec{a}, \vec{b}))\) .

Wenn  \(\vec{a}\cdot\vec{b} = 0\), dann ist auch \(|\vec{a}|\cdot |\vec{b}|\cdot cos(\sphericalangle (\vec{a}, \vec{b})) = 0\) .

Da weder \(\vec{a}\) noch  \(\vec{b}\) der Nullvektor ist, gilt: \(|\vec{a}|\neq 0\) und \(|\vec{b}|\neq 0\).

Damit \(|\vec{a}|\cdot |\vec{b}|\cdot cos(\sphericalangle (\vec{a}, \vec{b})) = 0\) sein kann, obwohl \(|\vec{a}|\neq 0\) und \(|\vec{b}|\neq 0\) ist, muss \(cos(\sphericalangle (\vec{a}, \vec{b})) = 0\) sein.

Also ist \(\sphericalangle (\vec{a}, \vec{b})\) = 90°.

1) Erkennen, ob zwei Vektoren senkrecht zueinander sind

Begründen Sie folgenden Aussage:

Aufgaben:

Entscheiden Sie, ob folgende Vektoren senkrecht zueinander sind.

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