Anwendungsaufgaben: Rotierende Kugel an einem Faden

Eine Kugel, die an einem Faden befestigt rotiert, wird umso mehr angehoben, je größer die Drehfrequenz ist. Ähnliches beobachten wir bei einem Kettenkarussell. Bei ihm heben sich die Sitze mit steigender Drehfrequenz immer stärker an. Wie lässt sich das erklären?

Auf die Kugel wirken zwei Kräfte, die Gewichtskraft, die senkrecht zum Erdmittelpunkt gerichtet ist und die Kraft des Fadens, die immer die Richtung des Fadens besitzt (ein Faden richtet sich immer in die Richtung der Kraft aus, die an ihm zieht). Beide Kräfte addieren sich zur Zentralkraft. Bewegt sich die Kugel schnell, muss der Betrag der Zentralkraft groß sein. Das ist aber nur möglich, wennd er Faden stark geneigt ist. Zu jedem Bahngeschwindigkeitsbetrag gehört ein bestimmter Winkel zwischen dem Faden und der zugehörigen Senkrechten. Es gilt:

\(\ { tan } ( \alpha ) = \frac { F _ { Z } } { F _ { G } } = \frac { m \cdot v ^ { 2 } } { r \cdot m \cdot g } = \frac { v ^ { 2 } } { r \cdot g }\)

Wir können den Winkel \(\alpha\) auch in Abhängigkeit von der Winkelgeschwindigkeit \(\omega\) bestimmen:

\(\operatorname { tan } ( \alpha ) = \frac { F _ { Z } } { F _ { G } } = \frac { m \cdot \omega ^ { 2 } \cdot r } { m \cdot g } = \frac { \omega ^ { 2 } \cdot r } { g }\)

Der Radius r der Kreisbewegung hängt vom Winkel \(\alpha\)  ab. Aus diesem Grund ersetzen wir den Radius durch die Fadenlänge \(\ell\). Es gilt:

\(\left. \begin{array} { l } { \operatorname { sin } ( \alpha ) = \frac { r } { \ell } \Rightarrow r = \ell \cdot \operatorname { sin } ( \alpha ) } \\ { \operatorname { tan } ( \alpha ) = \frac { \omega ^ { 2 } \cdot r } { g } = \frac { \omega ^ { 2 } \cdot \ell \cdot \operatorname { sin } ( \alpha ) } { g } \quad \text { mit } \quad \operatorname { tan } ( \alpha ) = \frac { \operatorname { sin } ( \alpha ) } { \operatorname { cos } ( \alpha ) } } \\ { \frac { \operatorname { sin } ( \alpha ) } { \operatorname { cos } ( \alpha ) } = \frac { \omega ^ { 2 } \cdot \ell \cdot \operatorname { sin } ( \alpha ) } { g } } \\ { \operatorname { cos } ( \alpha ) = \frac { g } { \omega ^ { 2 } \cdot \ell } } \end{array} \right.\)

Der Term auf der rechten Seite darf nicht größer 1 werden, da die Kosinusfunktion für beliebige Winkel nur maximal den Wert 1 ergibt. Das bedeutet, dass die Winkelgeschwindigkeit  einen Mindestwert haben muss:

\(\frac { g } { \omega ^ { 2 } \cdot \ell } \leq 1 \quad \Rightarrow \quad \omega \geq \sqrt { \frac { g } { \ell } }\)

Die physikalische Konsequenz daraus ist, dass sich die Kugel erst ab einer bestimmten Winkelgeschwindigkeit \(\omega_{0}\) bzw. Drehfrequenz \(f_{0}\) zu heben beginnt:

\(\omega _ { 0 } = \sqrt { \frac { g } { \ell } } \text { bzw. } \quad f _ { 0 } = \frac { 1 } { 2 \pi } \cdot \sqrt { \frac { g } { \ell } }\)